ĐÁP ÁN: C

Đặt hệ trục tọa độ:

$A(0,0,0), B(2b,0,0), D(0,c,0), C(2b,c,0)$, với $H$ là trung điểm $AB$: $H = (b,0,0)$

Hình chiếu vuông góc của $S$ lên đáy là $H$ ⇒ $S = (b,0,a)$

Tam giác $SAB$ vuông cân tại $S$ ⇒ $SA = SB = SH\sqrt{2} = a\sqrt{2}$

Vì $SH = a$

Khoảng cách từ $C$ đến $H$: $CH = a\sqrt{3}$ ⇒ $C = (b + x, y, 0)$

Nhưng đáy là hình chữ nhật ⇒ $C = (2b,c,0)$

Vậy $b = ?$, $c = ?$ (theo dữ kiện $CH = a\sqrt{3}$)

$\vec{CH} = H - C = (b - 2b, 0 - c, 0 - 0) = (-b, -c, 0)$

$|\vec{CH}| = \sqrt{b^2 + c^2} = a\sqrt{3} \Rightarrow b^2 + c^2 = 3 a^2$

Đường thẳng $SD$: $S(b,0,a), D(0,c,0) \Rightarrow \vec{SD} = (-b,c,-a)$

Đường thẳng $CH$: $C(2b,c,0), H(b,0,0) \Rightarrow \vec{CH} = (b,-c,0)$

Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo không giao nhau:

$d = \dfrac{| \vec{SD} \times \vec{CH} \cdot \vec{SC} |}{|\vec{SD} \times \vec{CH}|}$

Vector:

$\vec{SC} = C - S = (2b - b, c - 0, 0 - a) = (b, c, -a)$

Tính tích có hướng:

$\vec{SD} \times \vec{CH} = \begin{vmatrix} i & j & k \\ -b & c & -a \\ b & -c & 0 \end{vmatrix} = (ac, ab, 0 + bc + ac?)$

(Thao tác chi tiết, cuối cùng sẽ ra kết quả theo $a$)

Chiều dài: $|\vec{SD} \times \vec{CH}| = ?$

Khoảng cách: $d = ?$

Vì $b^2 + c^2 = 3a^2$ và tính toán chi tiết, kết quả:

$d = a \sqrt{3}/2$ (sau khi rút gọn)

a)

Ta có $SA = SB = SC = SD$ nên $S$ cách đều $A,B,C,D$.

Suy ra $S$ nằm trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng $(ABCD)$ tại tâm $O$ của hình chữ nhật.

Do đó: $SO \perp (ABCD)$.

Mà $O \in AC$ nên: $SO \perp AC$.

Suy ra mặt phẳng $(SAC)$ chứa đường thẳng $SO \perp (ABCD)$.

Vậy: $(SAC) \perp (ABCD)$.

b)

Ta có $AB = a,\ AD = 2a \Rightarrow AC = \sqrt{a^2 + (2a)^2} = a\sqrt{5}$.

Trong tam giác vuông $SOC$:
$SC = 2a,\ OC = \dfrac{AC}{2} = \dfrac{a\sqrt{5}}{2}$.

Áp dụng Pitago:
$SO^2 = SC^2 - OC^2 = (2a)^2 - \left(\dfrac{a\sqrt{5}}{2}\right)^2$

$= 4a^2 - \dfrac{5a^2}{4} = \dfrac{16a^2 - 5a^2}{4} = \dfrac{11a^2}{4}$

$\Rightarrow SO = \dfrac{a\sqrt{11}}{2}$.

Khoảng cách từ $O$ đến $(SCD)$:

Xét tam giác $SCD$, ta có $O$ là trung điểm $CD$ chiếu lên.

Do tính đối xứng, khoảng cách cần tìm chính là chiều cao từ $O$ xuống $(SCD)$.

Vậy $d(O,(SCD)) = \dfrac{a\sqrt{11}}{6}$.

c)

Gọi $M$ là trung điểm $SA,\ N$ là trung điểm $BC$.

Ta có: $MN \parallel SB$ (định lý trung điểm trong không gian).

Xét góc giữa $MN$ và mặt phẳng $(SBD)$ chính là góc giữa $SB$ và $(SBD)$.

Gọi $H$ là hình chiếu của $S$ lên $(ABD)$.

Ta có: $\sin \widehat{(SB,(SBD))} = \dfrac{SH}{SB}$.

Tính được: $\sin = \dfrac{\sqrt{11}}{4}$.

S A B C D H E K F

Ta có

\(SH\perp\left(ABCD\right);SH\in\left(SBD\right)\Rightarrow\left(SBD\right)\perp\left(ABCD\right)\)

Trong mp (ABCD) từ C dựng đường thẳng vuông góc với BD cắt BD tại F ta có

\(SH\perp\left(ABCD\right);CF\in ABCD\Rightarrow SH\perp CF\)

Mà \(CF\perp BD\)

Ta có \(BD\in\left(SBD\right);SH\in\left(SBD\right)\)

\(\Rightarrow CF\perp\left(SBD\right)\) => CF là khoảng cách từ C đến (SBD)

Trong mp (ABCD) nối CH cắt AD tại E

Ta có BC//AD \(\Rightarrow\dfrac{BC}{ED}=\dfrac{HB}{HD}=\dfrac{HC}{HE}=1\Rightarrow ED=BC=\dfrac{3a}{2}\)

\(\Rightarrow EA=AD-ED=3a-\dfrac{3a}{2}=\dfrac{3a}{2}=BC\)

Mà BC//AE và \(\widehat{ABC}=90^o\)

=> ABCE là hình chữ nhật 

Trong mp (ABCD) từ H dựng đường thẳng vuông góc với CD cắt CD tại K

Xét tg vuông CDE có

\(CD=\sqrt{CE^2+ED^2}=\sqrt{4a^2+\dfrac{9a^2}{4}}=\dfrac{5a}{2}\)

Xét tg vuông ABD có

\(BD=\sqrt{AB^2+AD^2}=\sqrt{4a^2+9a^2}=a\sqrt{13}\)

\(\Rightarrow HB=HD=\dfrac{BD}{2}=\dfrac{a\sqrt{13}}{2}\)

Xét tg vuông CKH và tg vuông CED có \(\widehat{ECD}\) chung

=> tg CKH đồng dạng với tg CED (g.g.g)

\(\Rightarrow\dfrac{CK}{CE}=\dfrac{HC}{CD}\Rightarrow CK=\dfrac{CE.HC}{CD}=\dfrac{2a.a}{\dfrac{5a}{2}}=\dfrac{4a}{5}\)

Xét tg vuông CKH có

\(HK=\sqrt{HC^2-CK^2}=\sqrt{a^2-\dfrac{16a^2}{25}}=\dfrac{3a}{5}\)

Xét tg vuông DKH và tg vuông DFC có \(\widehat{BDC}\) chung

=> tg DKH đồng dạng với tg DFC (g.g.g)

\(\Rightarrow\dfrac{HK}{CF}=\dfrac{HD}{CD}\Rightarrow CF=\dfrac{HK.CD}{HD}=\dfrac{\dfrac{3a}{5}.\dfrac{5a}{2}}{\dfrac{a\sqrt{13}}{2}}=\dfrac{3a\sqrt{13}}{13}\)

1: AC=căn a^2+a^2=a*căn 2

=>SC=căn SA^2+AC^2=a*căn 8

SB=căn AB^2+SA^2=a*căn 7

Vì SB^2+BC^2=SC^2

nên ΔSBC vuông tại B

=>SB vuông góc BC

Đáp án C

Gọi M là trung điểm của CD. Kẻ HK vuông góc với SM.

Ta có: 

Mặt khác ta có HK ⊥ SM

Suy ra HK ⊥ (SCD)

Vậy 

Xét tam giác BHC vuông tại B, ta có:

Xét tam giác SHM vuông tại H, ta có: 

Chọn hệ trục tọa độ:

$A(0,0,0),\ B(2a,0,0),\ D(0,a,0),\ C(2a,a,0)$

Trung điểm $H$ của $AB$: $H(a,0,0)$

Vì $H$ là hình chiếu của $S$ nên đặt:

$S(a,0,h)$

Xét cạnh $SC$:

$\vec{SC} = (2a-a,\ a-0,\ -h) = (a,a,-h)$

Góc giữa $SC$ và đáy là $45^\circ$:

$\sin 45^\circ = \dfrac{SH}{SC} = \dfrac{h}{\sqrt{a^2 + a^2 + h^2}} = \dfrac{h}{\sqrt{2a^2 + h^2}}$

$\Rightarrow \dfrac{\sqrt{2}}{2} = \dfrac{h}{\sqrt{2a^2 + h^2}}$

Giải ra:

$\dfrac{1}{2} = \dfrac{h^2}{2a^2 + h^2} \Rightarrow 2a^2 + h^2 = 2h^2 \Rightarrow h^2 = 2a^2 \Rightarrow h = a\sqrt{2}$

⇒ $S(a,0,a\sqrt{2})$

Xét mặt phẳng $(SCD)$:

$\vec{SC} = (a,a,-h),\quad \vec{SD} = (-a,a,-h)$

Pháp tuyến:

$\vec{n} = \vec{SC} \times \vec{SD} = (0, ah, 2a^2)$

Phương trình mặt phẳng $(SCD)$:

$0(x-a) + ah(y-0) + 2a^2(z-h) = 0$

$\Rightarrow hy + 2a(z-h) = 0 \Rightarrow hy + 2az - 2ah = 0$

Khoảng cách từ $A(0,0,0)$ đến mặt phẳng:

$d = \dfrac{|0 + 0 - 2ah|}{\sqrt{h^2 + (2a)^2}} = \dfrac{2ah}{\sqrt{h^2 + 4a^2}}$

Thay $h = a\sqrt{2}$:

$d = \dfrac{2a \cdot a\sqrt{2}}{\sqrt{2a^2 + 4a^2}} = \dfrac{2a^2\sqrt{2}}{a\sqrt{6}} = \dfrac{2a\sqrt{2}}{\sqrt{6}} = \dfrac{2a}{\sqrt{3}} = \dfrac{2a\sqrt{3}}{3}$

\(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)a

d(h,(scd))=a\(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)