Đáy $ABCD$ là hình chữ nhật với $AB = a$, $BC = a\sqrt3$ nên:

$AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{a^2 + 3a^2} = 2a$.

Diện tích đáy: $S_{ABCD} = AB \cdot BC = a \cdot a\sqrt3 = a^2\sqrt3$.

Vì $(SAD)\perp(ABCD)$ nên hình chiếu $H$ của $S$ lên đáy thuộc $AD$.

Tam giác $SAC$ cân tại $S$ nên $H$ là trung điểm của $AC$.

Suy ra: $AH = HC = \dfrac{AC}{2} = a$.

Xét mặt phẳng $(ACD)$ và đường thẳng $SD$, góc giữa $SD$ và $(ACD)$ bằng $60^\circ$ nên: $\tan 60^\circ = \dfrac{SH}{DH}$.

Ta có: $D(0, a\sqrt3), A(0,0), C(a, a\sqrt3)$ nên trung điểm $H$ của $AC$ có tọa độ $(\dfrac{a}{2}, \dfrac{a\sqrt3}{2})$.

Suy ra: $DH = \sqrt{\left(\dfrac{a}{2}\right)^2 + \left(\dfrac{a\sqrt3}{2} - a\sqrt3\right)^2}= \sqrt{\dfrac{a^2}{4} + \dfrac{3a^2}{4}}= a$.

Do đó: $\sqrt3 = \dfrac{SH}{a} \Rightarrow SH = a\sqrt3$.

Thể tích khối chóp:

$V = \dfrac13 S_{ABCD} \cdot SH= \dfrac13 \cdot a^2\sqrt3 \cdot a\sqrt3= a^3$.

Vậy $V = a^3$.

Đáp án D

Phương pháp: Đưa khoảng cách từ M đến (SAC) về khoảng cách từ H đến (SAC).

Cách giải: Gọi H là trung điểm của AB ta có SH ⊥ (ABCD)

Ta có (SC;(ABCD)) = (SC;HC) = Góc SCH =  45 0

=>∆SHC vuông cân tại H => 

Trong (ABD) kẻ HI ⊥ AC,trong (SHI) kẻ HK ⊥ SI ta có:

Ta có ∆AHI: ∆A CB(g.g) => 

Đáp án B

Dễ thấy: S C H ^ = 45 ∘  Gọi H là trung điểm của AB ta có  S H ⊥ A B ⇒ S H ⊥ A B C D .

Ta có: S H = H C = a 17 2 .  

Ta có:  d = d M , S A C = 1 2 d D , S A C

Mà 1 2 d D , S A C = 1 2 d B , S A C  nên  d = d H , S A C

Kẻ H I ⊥ A C , H K ⊥ S I ⇒ d H , S A C = H K  

Ta có: H I = A B . A D 2 A C = a 5 5  

Từ đó suy ra: d = H K = S H . H I S I = a 1513 89 .  

Đáp án B.

Vẽ đường thẳng d qua B và song song với AC.

Gọi K, I lần lượt là hình chiếu của H trên d và SB, L là hình chiếu của H trên SK.

d ( D , ( S B C ) ) = 2 a 3 ⇔ d A ; ( A B C ) = 2 a 3 ⇔ d H , S B C = a 3 ⇔ H I = a 3  

1 S H 2 = 1 H I 2 - 1 H B 2 ⇒ S H = a 5 5  

sin K B H ⏞ = H K H B = sin C A B ⏞ = C B A C ⇒ H K = H B . C B A C = a 5 5

d A C ; S B = d A , S B K = 2 d H , S B K = 2 H L = 2 . S H . H K S H 2 + H K 2 = a 10 5

Chọn đáp án A.

Gọi O là tâm của hình vuông và N là trung điểm của AB.

Khi đó G là giao điểm của AC và DN. Tam giác SGD vuông tại G nên  S D G ^ nhọn

Chọn đáp án C.

Dựng hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' thì