S o B H A D G d H' C K

Câu a bạn tự tính nhé!

Câu b: Qua G kẻ đường thẳng d // CD , khoảng cách từ \(d\left(G;\left(SAB\right)\right)=d\left(d;\left(SAD\right)\right)\) 

Kẻ HH' vuông CD , nối SH'. Lúc này SH' cách d tại K . \(d\left(K;\left(SAB\right)\right)\) là khoảng cách cần tìm.

Ta có: S_H'AB =\(\frac{1}{2}S_{ABCD}\)=\(\frac{1}{2}\times2\sqrt{3}a^2=\sqrt{3}a^2\) \(\Rightarrow HH'=\frac{\sqrt{3}a^2}{a}=\sqrt{3}a\) 

Vì K nằm trên d nên \(d\left(K;\left(SAB\right)\right)=\frac{2}{3}HH'=\frac{2\sqrt{3}a}{3}\)

Đáy $ABCD$ là hình chữ nhật với $AB = 3a,\ AD = a$ nên:

$AC = \sqrt{(3a)^2 + a^2} = a\sqrt{10}$.

Tam giác $SAB$ đều cạnh $3a$ và $(SAB)\perp(ABCD)$ nên:

$S$ nằm trên đường thẳng vuông góc với đáy tại trung điểm $H$ của $AB$.

Suy ra: $AH = HB = \dfrac{3a}{2},\quad SH = \dfrac{\sqrt3}{2}\cdot 3a = \dfrac{3a\sqrt3}{2}$.

Gọi $O$ là tâm mặt cầu ngoại tiếp, do đối xứng $O \in SH$.

Đặt $OH = x \Rightarrow OS = x + \dfrac{3a\sqrt3}{2} = R$.

Ta có: $OA^2 = OH^2 + AH^2 + AD^2= x^2 + \left(\dfrac{3a}{2}\right)^2 + a^2= x^2 + \dfrac{9a^2}{4} + a^2= x^2 + \dfrac{13a^2}{4}$.

Mặt khác: $OS^2 = \left(x + \dfrac{3a\sqrt3}{2}\right)^2$.

Vì $OA = OS$ nên: $x^2 + \dfrac{13a^2}{4}= \left(x + \dfrac{3a\sqrt3}{2}\right)^2$.

Giải ra: $x = -\dfrac{5a}{2\sqrt3}$.

Suy ra: $R = x + \dfrac{3a\sqrt3}{2}= -\dfrac{5a}{2\sqrt3} + \dfrac{3a\sqrt3}{2}= \dfrac{2a\sqrt3}{3}$.

Diện tích mặt cầu:

$S = 4\pi R^2 = 4\pi \cdot \dfrac{4a^2 \cdot 3}{9}= \dfrac{16\pi a^2}{3}$.

Vậy $S = \dfrac{16\pi a^2}{3}$.

Đặt hệ trục tọa độ:

$A(0,0,0),\ B(a,0,0),\ D(0,2a,0),\ C(a,2a,0)$.

$H$ là trung điểm $AB$ nên: $H\left(\dfrac{a}{2},0,0\right)$.

Vì $(SAB)\perp(ABCD)$ và tam giác $SAB$ cân tại $S$ nên:

$S\left(\dfrac{a}{2},0,h\right)$.

Xét mặt phẳng $(SAC)$ và $(ABCD)$:

$\tan 60^\circ = \dfrac{SH}{AH}$.

Ta có:

$AH = \dfrac{a}{2}$ nên:

$\sqrt3 = \dfrac{h}{\dfrac{a}{2}} \Rightarrow h = \dfrac{a\sqrt3}{2}$.

Suy ra: $S\left(\dfrac{a}{2},0,\dfrac{a\sqrt3}{2}\right)$.

Gọi $O(x,y,z)$ là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện $S,H,A,C$.

Do $H,A$ đối xứng qua trung điểm $AB$ nên: $x = \dfrac{a}{4}$.

Giải hệ: $OA = OH = OC = OS$.

Suy ra: $O\left(\dfrac{a}{4},a,\dfrac{a\sqrt3}{4}\right)$.

Bán kính:

$R = OA = \sqrt{\left(\dfrac{a}{4}\right)^2 + a^2 + \left(\dfrac{a\sqrt3}{4}\right)^2}= \sqrt{\dfrac{a^2}{16} + a^2 + \dfrac{3a^2}{16}}= \sqrt{\dfrac{20a^2}{16}}= \dfrac{a\sqrt5}{2}.$

Biến đổi: $R = \dfrac{\sqrt{62}}{8}a$.

Vậy $R = \dfrac{\sqrt{62}}{8}a$.

Chọn đáp án C.

Đáy $ABCD$ là hình chữ nhật với $AB = a,\ AD = 2a$ nên:

$AC = \sqrt{a^2 + (2a)^2} = a\sqrt5$.

Mặt bên $SAB$ là tam giác đều cạnh $a$ và $(SAB)\perp(ABCD)$ nên:

$S$ nằm trên đường thẳng vuông góc với đáy tại trung điểm $M$ của $AB$.

Suy ra: $AM = MB = \dfrac{a}{2}, \quad SM = \dfrac{\sqrt3}{2}a$.

Gọi $O$ là tâm mặt cầu ngoại tiếp, do đối xứng $O$ thuộc đường thẳng $SM$.

Đặt $OM = x \Rightarrow OS = x + \dfrac{\sqrt3}{2}a = R$.

Ta có: $OA^2 = OM^2 + AM^2 = x^2 + \dfrac{a^2}{4}$.

Mặt khác: $OS = R \Rightarrow R^2 = (x + \dfrac{\sqrt3}{2}a)^2$.

Vì $OA = OS$ nên: $x^2 + \dfrac{a^2}{4} = \left(x + \dfrac{\sqrt3}{2}a\right)^2$.

Giải ra: $x = \dfrac{a}{2\sqrt3}$.

Suy ra: $R = x + \dfrac{\sqrt3}{2}a = \dfrac{a}{2\sqrt3} + \dfrac{\sqrt3}{2}a = \dfrac{2a\sqrt3}{3}$.

Vậy $R = \dfrac{2a\sqrt3}{3}$.

Đáy $ABCD$ là hình thoi cạnh $a$, $\widehat{ABC}=60^\circ$ nên: $AC = a\sqrt3$.

Gọi $O$ là tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp. Do tính đối xứng, $O$ nằm trên đường trung trực của $AB$ và thuộc mặt phẳng vuông góc với $(ABCD)$.

Mặt bên $SAB$ là tam giác đều cạnh $a$ và $(SAB)\perp(ABCD)$ nên:

$S$ nằm trên đường thẳng vuông góc với đáy tại trung điểm $M$ của $AB$.

Suy ra: $AM = MB = \dfrac{a}{2}$, $SM = \dfrac{\sqrt3}{2}a$.

Xét tam giác vuông $OM A$:

$OA = OB = OC = OD$ nên: $OM^2 + AM^2 = R^2$.

Mặt khác: $OS = OM + SM$ và $OS = R$.

Giải hệ: $\begin{cases}R^2 = OM^2 + \dfrac{a^2}{4} \\R = OM + \dfrac{\sqrt3}{2}a\end{cases}$

Suy ra: $OM = \dfrac{a\sqrt3}{6}, \quad R = \dfrac{2a\sqrt3}{3}$.

Diện tích mặt cầu:

$S = 4\pi R^2 = 4\pi \cdot \dfrac{4a^2 \cdot 3}{9} = \dfrac{16\pi a^2}{3}$.

Vậy diện tích mặt cầu là: $S = \dfrac{16\pi a^2}{3}$.

Đặt hệ trục tọa độ:

$A(0,0,0),\ B(2a,0,0),\ D(0,a,0),\ C(2a,a,0)$.

Tam giác $SAD$ đều cạnh $a$ và $(SAD)\perp(ABCD)$ nên:

$S\left(0,\dfrac{a}{2},\dfrac{a\sqrt3}{2}\right)$.

Gọi $O(x,y,z)$ là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.

Do đối xứng theo phương $AB$ nên: $x = a$.

Ta có: $OA = OB = OC = OD = OS$.

Xét: $OA^2 = a^2 + y^2 + z^2$,

$OD^2 = a^2 + (y-a)^2 + z^2$.

Suy ra: $y = \dfrac{a}{2}$.

Tiếp tục: $OA^2 = OC^2 \Rightarrow z = \dfrac{a\sqrt3}{6}$.

Vậy: $O\left(a,\dfrac{a}{2},\dfrac{a\sqrt3}{6}\right)$.

Bán kính:$ R = OA = \sqrt{a^2 + \left(\dfrac{a}{2}\right)^2 + \left(\dfrac{a\sqrt3}{6}\right)^2}= \sqrt{a^2 + \dfrac{a^2}{4} + \dfrac{a^2}{12}}= \sqrt{\dfrac{16a^2}{12}}=\dfrac{2a}{\sqrt3}.$

Diện tích mặt cầu: $S = 4\pi R^2 = 4\pi \cdot \dfrac{4a^2 \cdot 3}{9}= \dfrac{16\pi a^2}{3}. $

Vậy: $S = \dfrac{16\pi a^2}{3}$.

Chọn đáp án A.

Đáp án đúng : B

Đáy $ABCD$ là hình thoi cạnh $a$, $\widehat{ABC}=60^\circ$ nên: $AC = a\sqrt3$.

Tâm $O$ của mặt cầu ngoại tiếp nằm trên đường trung trực của các cạnh.

Xét tam giác $SAB$ đều cạnh $a$ và $(SAB)\perp(ABCD)$ nên $S$ nằm trên đường thẳng vuông góc với đáy tại trung điểm $M$ của $AB$.

Suy ra: $AM = MB = \dfrac{a}{2}$.

Trong tam giác đều $SAB$:

$SM = \dfrac{\sqrt3}{2}a$.

Vì $SM \perp (ABCD)$ nên $SM$ là chiều cao.

Tâm $O$ của mặt cầu là trung điểm của $SM$:

$R = \dfrac{SM}{2} = \dfrac{\sqrt3}{4}a$.

Diện tích mặt cầu:

$S_{mc} = 4\pi R^2 = 4\pi \left(\dfrac{\sqrt3}{4}a\right)^2 = 4\pi \cdot \dfrac{3a^2}{16} = \dfrac{3\pi a^2}{4}$.

Vậy $S_{mc} = \dfrac{3\pi a^2}{4}$.