ĐÁP ÁN: C

Chọn hệ trục tọa độ:

$A(0,0,0),\ B(a,0,0),\ D(0,3a,0),\ C(a,3a,0)$

Vì hai mặt phẳng $(SAB)$ và $(SAD)$ cùng vuông góc với đáy nên $S$ nằm trên đường thẳng vuông góc đáy qua $A$, đặt:

$S(0,0,h)$

Xét cạnh $SC$:

$\vec{SC} = (a,3a,-h)$

Góc giữa $SC$ và đáy là $30^\circ$:

$\sin 30^\circ = \dfrac{SH}{SC} = \dfrac{h}{\sqrt{a^2 + (3a)^2 + h^2}} = \dfrac{h}{\sqrt{10a^2 + h^2}}$

$\Rightarrow \dfrac{1}{2} = \dfrac{h}{\sqrt{10a^2 + h^2}}$

Giải ra:

$\dfrac{1}{4} = \dfrac{h^2}{10a^2 + h^2} \Rightarrow 10a^2 + h^2 = 4h^2 \Rightarrow 10a^2 = 3h^2$

$\Rightarrow h^2 = \dfrac{10}{3}a^2 \Rightarrow h = a\sqrt{\dfrac{10}{3}}$

Diện tích đáy:

$S_{ABCD} = AB \cdot BC = a \cdot 3a = 3a^2$

Thể tích khối chóp:

$V = \dfrac{1}{3} S_{ABCD} \cdot SH = \dfrac{1}{3} \cdot 3a^2 \cdot a\sqrt{\dfrac{10}{3}} = a^3 \sqrt{\dfrac{10}{3}}$

Đặt hệ trục tọa độ:

$A(0,0,0),\ B(a,0,0),\ D(0,a\sqrt{3},0),\ C(a,a\sqrt{3},0)$.

Cạnh bên $SA$ vuông góc với đáy, giả sử $S(0,0,h)$.

Vector $\vec{SC} = C-S = (a, a\sqrt{3}, -h)$

Vector $\vec{SB} = B-S = (a,0,-h)$

Góc giữa $SC$ và mặt phẳng $(SAB)$:

Vector pháp tuyến của $(SAB)$:

$\vec{n}_{SAB} = \vec{SA} \times \vec{SB} = (0,0,h) \times (a,0,-h) = (0,ah,0)$

Chiều cao của $SC$ theo pháp tuyến:

$\dfrac{|\vec{SC} \cdot \vec{n}_{SAB}|}{|\vec{n}_{SAB}|} = \dfrac{|(a,a\sqrt{3},-h) \cdot (0,ah,0)|}{ah} = \sqrt{3}a$

Góc $\theta = 30^\circ \Rightarrow \tan 30^\circ = \dfrac{|\text{SC vuông góc với (SAB)}|}{|SC_{SAB}|} \Rightarrow |SC_{SAB}| = \sqrt{3} \cdot \sqrt{3} a = 3a$

Chiều cao $SA = h = a\sqrt{3}$

Diện tích đáy:

$S_{ABCD} = AB \cdot AD = a \cdot a\sqrt{3} = a^2\sqrt{3}$

Thể tích khối chóp:

$V = \dfrac{1}{3} S_{ABCD} \cdot SA = \dfrac{1}{3} \cdot a^2\sqrt{3} \cdot a\sqrt{3} = a^3$

Vậy thể tích: $V = a^3$

Đáp án A

Gọi H là trung điểm của AB, tam giác SAB cân tại S do đó SH⊥AB mà     (SAB)⊥   (ABCD) nên SH⊥   (ABCD). Góc giữa SC và đáy là SCH =60⁰.

Tam giác BHC vuông tại B nên 

Tam giác SHC vuông tại H nên SH = SC.tanSCH

Do vậy 

Đặt hệ trục tọa độ:

$A(0,0,0),\ B(a,0,0),\ D(0,2a,0),\ C(a,2a,0)$.

Tam giác $SAB$ cân tại $S$ và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Trung điểm $H$ của $AB$ là

$H\left(\dfrac{a}{2},0,0\right)$

và $S$ nằm trên đường thẳng vuông góc với đáy đi qua $H$, giả sử

$S\left(\dfrac{a}{2},0,h\right)$.

Góc giữa $SC$ và mặt phẳng đáy là $\theta = 60^\circ$.

Vector $\vec{SC}$ là

$\vec{SC} = \left(a - \dfrac{a}{2},\ 2a - 0,\ 0 - h \right) = \left(\dfrac{a}{2},\ 2a,\ -h\right)$

Chiều dài trong mặt phẳng đáy:

$SC_{xy} = \sqrt{\left(\dfrac{a}{2}\right)^2 + (2a)^2} = \sqrt{\dfrac{a^2}{4} + 4a^2} = \sqrt{\dfrac{17a^2}{4}} = \dfrac{a\sqrt{17}}{2}$

Góc giữa $SC$ và mặt đáy:

$\tan \theta = \dfrac{|SC_z|}{SC_{xy}} = \dfrac{h}{\dfrac{a\sqrt{17}}{2}}$

Vì $\theta = 60^\circ \Rightarrow \tan 60^\circ = \sqrt{3}$, nên

$\dfrac{h}{\dfrac{a\sqrt{17}}{2}} = \sqrt{3} \Rightarrow h = \dfrac{a \sqrt{51}}{2}$

Thể tích khối chóp:

$V = \dfrac{1}{3} \cdot S_{ABCD} \cdot h$

Diện tích đáy:

$S_{ABCD} = AB \cdot AD = a \cdot 2a = 2a^2$

Vậy: $V = \dfrac{1}{3} \cdot 2a^2 \cdot \dfrac{a\sqrt{51}}{2} = \dfrac{a^3 \sqrt{51}}{3}$

Đáp án: $V = \dfrac{a^3 \sqrt{51}}{3}$

Đáp án C

Ta có ngay 

a

Chọn hệ trục tọa độ:

$A(0,0,0),\ B(a,0,0),\ D(0,a,0),\ C(a,a,0)$

Vì $(SAB)$ và $(SAD)$ cùng vuông góc với đáy nên $S$ nằm trên đường thẳng vuông góc đáy tại $A$, đặt: $S(0,0,h)$

Xét cạnh $SC$:

$\vec{SC} = (a,a,-h)$

Góc giữa $SC$ và đáy là $60^\circ$:

$\sin 60^\circ = \dfrac{SH}{SC} = \dfrac{h}{\sqrt{a^2 + a^2 + h^2}} = \dfrac{h}{\sqrt{2a^2 + h^2}}$

$\Rightarrow \dfrac{\sqrt{3}}{2} = \dfrac{h}{\sqrt{2a^2 + h^2}}$

Giải ra:

$\dfrac{3}{4} = \dfrac{h^2}{2a^2 + h^2} \Rightarrow 3(2a^2 + h^2) = 4h^2$

$\Rightarrow 6a^2 + 3h^2 = 4h^2 \Rightarrow h^2 = 6a^2 \Rightarrow h = a\sqrt{6}$

Diện tích đáy: $S_{ABCD} = a^2$

Thể tích khối chóp: $V = \dfrac{1}{3} S_{ABCD} \cdot SH = \dfrac{1}{3} \cdot a^2 \cdot a\sqrt{6} = \dfrac{a^3\sqrt{6}}{3}$

Đáp án B

Đặt hệ trục tọa độ:

$A(0,0,0),\ B(1,0,0),\ D(0,3,0),\ C(1,3,0)$.

Cạnh bên $SA$ vuông góc với mặt phẳng đáy, giả sử $S(0,0,h)$.

Vector $\vec{SC} = C-S = (1,3,-h)$

Góc giữa $SC$ và mặt phẳng đáy $(ABCD)$ là $60^\circ$, nên:

$\tan 60^\circ = \dfrac{|SC_z|}{\sqrt{SC_x^2 + SC_y^2}} = \dfrac{h}{\sqrt{1^2 + 3^2}} = \dfrac{h}{\sqrt{10}}$

Vì $\tan 60^\circ = \sqrt{3} \Rightarrow \dfrac{h}{\sqrt{10}} = \sqrt{3} \Rightarrow h = \sqrt{30}$

Diện tích đáy:

$S_{ABCD} = AB \cdot AD = 1 \cdot 3 = 3$

Thể tích khối chóp:

$V = \dfrac{1}{3} S_{ABCD} \cdot SA = \dfrac{1}{3} \cdot 3 \cdot \sqrt{30} = \sqrt{30}$

Chọn hệ trục tọa độ:

$A(0,0,0),\ B(2a,0,0),\ D(0,a,0),\ C(2a,a,0)$

Vì hai mặt phẳng $(SAB)$ và $(SAD)$ cùng vuông góc với đáy nên $S$ nằm trên đường thẳng vuông góc đáy tại $A$, đặt:

$S(0,0,h)$

Tính $SC$:

$SC^2 = (2a)^2 + a^2 + h^2 = 5a^2 + h^2$

Theo đề:

$SC = a\sqrt{14} \Rightarrow SC^2 = 14a^2$

$\Rightarrow 5a^2 + h^2 = 14a^2 \Rightarrow h^2 = 9a^2 \Rightarrow h = 3a$

Diện tích đáy:

$S_{ABCD} = AB \cdot AD = 2a \cdot a = 2a^2$

Thể tích khối chóp:

$V = \dfrac{1}{3} S_{ABCD} \cdot SH = \dfrac{1}{3} \cdot 2a^2 \cdot 3a = 2a^3$

Đáp án B

Ta có diện tích đáy

=> Chọn phương án B

Chọn hệ trục tọa độ:

$A(0,0,0),\ B(a,0,0),\ D(0,a,0),\ C(a,a,0)$

Vì hai mặt phẳng $(SAB)$ và $(SAD)$ cùng vuông góc với đáy nên $S$ nằm trên đường thẳng vuông góc đáy tại $A$, đặt:

$S(0,0,h)$

Xét cạnh $SC$:

$\vec{SC} = (a,a,-h)$

Góc giữa $SC$ và đáy là $60^\circ$:

$\sin 60^\circ = \dfrac{SH}{SC} = \dfrac{h}{\sqrt{a^2 + a^2 + h^2}} = \dfrac{h}{\sqrt{2a^2 + h^2}}$

$\Rightarrow \dfrac{\sqrt{3}}{2} = \dfrac{h}{\sqrt{2a^2 + h^2}}$

Giải ra:

$\dfrac{3}{4} = \dfrac{h^2}{2a^2 + h^2} \Rightarrow 3(2a^2 + h^2) = 4h^2$

$\Rightarrow 6a^2 + 3h^2 = 4h^2 \Rightarrow h^2 = 6a^2 \Rightarrow h = a\sqrt{6}$

Diện tích đáy: $S_{ABCD} = a^2$

Thể tích khối chóp:

$V = \dfrac{1}{3} S_{ABCD} \cdot SH = \dfrac{1}{3} \cdot a^2 \cdot a\sqrt{6} = \dfrac{a^3\sqrt{6}}{3}$

a: BD vuông góc AC

BD vuông góc SA

=>BD vuông góc (SAC)

=>(SBD) vuông góc (SAC)

b: BC vuông góc AB

BC vuông góc SA
=>BC vuông góc (SAB)

=>BC vuông góc AK

mà AK vuông góc SB

nên AK vuông góc (SBC)