ĐÁP ÁN: C

Chọn hệ trục tọa độ:

$A(0,0,0),\ B(a,0,0),\ D(0,3a,0),\ C(a,3a,0)$

Vì hai mặt phẳng $(SAB)$ và $(SAD)$ cùng vuông góc với đáy nên $S$ nằm trên đường thẳng vuông góc đáy qua $A$, đặt:

$S(0,0,h)$

Xét cạnh $SC$:

$\vec{SC} = (a,3a,-h)$

Góc giữa $SC$ và đáy là $30^\circ$:

$\sin 30^\circ = \dfrac{SH}{SC} = \dfrac{h}{\sqrt{a^2 + (3a)^2 + h^2}} = \dfrac{h}{\sqrt{10a^2 + h^2}}$

$\Rightarrow \dfrac{1}{2} = \dfrac{h}{\sqrt{10a^2 + h^2}}$

Giải ra:

$\dfrac{1}{4} = \dfrac{h^2}{10a^2 + h^2} \Rightarrow 10a^2 + h^2 = 4h^2 \Rightarrow 10a^2 = 3h^2$

$\Rightarrow h^2 = \dfrac{10}{3}a^2 \Rightarrow h = a\sqrt{\dfrac{10}{3}}$

Diện tích đáy:

$S_{ABCD} = AB \cdot BC = a \cdot 3a = 3a^2$

Thể tích khối chóp:

$V = \dfrac{1}{3} S_{ABCD} \cdot SH = \dfrac{1}{3} \cdot 3a^2 \cdot a\sqrt{\dfrac{10}{3}} = a^3 \sqrt{\dfrac{10}{3}}$

Gọi N là trung điểm AB \(\Rightarrow MN\perp AD\Rightarrow AD\perp\left(SMN\right)\Rightarrow AD\perp SM\)

Mặt khác: \(MN=AB=a\) ; \(SM=SN=\sqrt{SO^2+\left(\dfrac{MN}{2}\right)^2}=\dfrac{a\sqrt{2}}{2}\)

\(\Rightarrow SM^2+SN^2=MN^2\Rightarrow\Delta SMN\) vuông cân tại S hay \(SM\perp SN\)

\(\Rightarrow SM\perp\left(SAD\right)\)

Trong mp (SBC), dựng hình chữ nhật SMCP \(\Rightarrow CP||SM\Rightarrow CP\perp\left(SAD\right)\)

\(\Rightarrow\) SP là hình chiếu vuông góc của SC lên (SAD) hay \(\widehat{CSP}=\phi\) 

\(AC=a\sqrt{5}\Rightarrow SC=\sqrt{SO^2+\left(\dfrac{AC}{2}\right)^2}=\dfrac{a\sqrt{6}}{2}\); \(SP=MC=\dfrac{BC}{2}=a\)

\(\Rightarrow CP=\sqrt{SC^2-SP^2}=\dfrac{a\sqrt{2}}{2}\)

\(sin\phi=\dfrac{CP}{SC}=\dfrac{\sqrt{3}}{3}\)

Chọn hệ trục tọa độ:

$A(0,0,0),\ B(a\sqrt{6},0,0),\ D(0,a\sqrt{6},0),\ C(a\sqrt{6},a\sqrt{6},0)$

Vì $(SAD)$ và $(SAC)$ cùng vuông góc với đáy nên $S$ nằm trên đường thẳng vuông góc đáy qua $A$, đặt: $S(0,0,h)$

Tính $SC$: $SC^2 = (a\sqrt{6})^2 + (a\sqrt{6})^2 + h^2 = 12a^2 + h^2$

Theo đề: $SC = 4\sqrt{3}a \Rightarrow SC^2 = 48a^2$

$\Rightarrow 12a^2 + h^2 = 48a^2 \Rightarrow h^2 = 36a^2 \Rightarrow h = 6a$ ⇒ $S(0,0,6a)$

Trung điểm $M$ của $SC$: $M\left(\dfrac{a\sqrt{6}}{2}, \dfrac{a\sqrt{6}}{2}, 3a\right)$

Xét đường thẳng $BM$:

$\vec{BM} = \left(\dfrac{a\sqrt{6}}{2} - a\sqrt{6}, \dfrac{a\sqrt{6}}{2} - 0, 3a - 0\right) = \left(-\dfrac{a\sqrt{6}}{2}, \dfrac{a\sqrt{6}}{2}, 3a\right)$

Mặt phẳng $(ACD)$ chính là mặt đáy nên có vectơ pháp tuyến: $\vec{n} = (0,0,1)$

Góc giữa đường thẳng $BM$ và mặt phẳng $(ACD)$:

$\sin \varphi = \dfrac{|\vec{BM} \cdot \vec{n}|}{|\vec{BM}|} = \dfrac{3a}{\sqrt{\dfrac{6a^2}{4} + \dfrac{6a^2}{4} + 9a^2}} = \dfrac{3a}{\sqrt{3a^2 + 9a^2}} = \dfrac{3a}{a\sqrt{12}} = \dfrac{3}{2\sqrt{3}} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$

Suy ra: $\varphi = 60^\circ$

a)

Ta có $SO \perp (ABCD)$ nên: $SO \perp AD$ và $SO \perp AB$.

Mà $AB \perp AD$ nên: $BC \parallel AD \Rightarrow BC \perp AB$.

Gọi $M$ là trung điểm của $BC$ nên: $OM \parallel AB$.

Suy ra: $OM \perp AD$.

Xét hai đường thẳng trong mặt phẳng $(SAD)$:
$AD,\ SA$.

Ta có: $SM$ đi qua $S$ và $M$.

Xét tam giác $SOM$:
$SO \perp OM$ nên $\triangle SOM$ vuông tại $O$.

Mặt khác: $OM \parallel AB \Rightarrow OM \perp AD$.

Suy ra: $SM \perp AD$.

Ta lại có:
$SO \perp AD$ và $SM$ nằm trong mặt phẳng $(SOM)$ nên: $SM \perp SA$.

Vậy:
$SM \perp AD$ và $SM \perp SA$

$\Rightarrow SM \perp (SAD)$.

b)

Gọi $\varphi$ là góc giữa $SC$ và mặt phẳng $(SAD)$.

Khi đó: $\sin \varphi = \dfrac{d(C,(SAD))}{SC}$.

Tính các độ dài:

Ta có: $AB = a,\ AD = 2a \Rightarrow AC = \sqrt{a^2 + (2a)^2} = a\sqrt{5}$.

$OC = \dfrac{AC}{2} = \dfrac{a\sqrt{5}}{2}$.

Trong tam giác vuông $SOC$: $SO = \dfrac{a}{2}$.

$SC^2 = SO^2 + OC^2 = \dfrac{a^2}{4} + \dfrac{5a^2}{4} = \dfrac{6a^2}{4}$

$\Rightarrow SC = \dfrac{a\sqrt{6}}{2}$.

Tính khoảng cách từ $C$ đến $(SAD)$:

Do $(SAD)$ chứa $AD$ và $SO$ nên là mặt phẳng vuông góc đáy theo phương $AD$.

Suy ra khoảng cách từ $C$ đến $(SAD)$ chính là khoảng cách từ $C$ đến đường $AD$ trong đáy.

Mà hình chữ nhật nên: $d(C,AD) = AB = a$.

Do đó: $\sin \varphi = \dfrac{a}{\dfrac{a\sqrt{6}}{2}} = \dfrac{2}{\sqrt{6}} = \dfrac{\sqrt{6}}{3}$.

(SD;(ABCD))=(DS;DA)=góc SDA

tan SDA=SA/AD=3/2

=>góc SDA=56 độ

Tam giác SAB đều \(\Rightarrow SH\perp AB\)

Mà \(\left\{{}\begin{matrix}AB=\left(SAB\right)\cap\left(ABCD\right)\\\left(SAB\right)\perp\left(ABCD\right)\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow SH\perp\left(ABCD\right)\)

Gọi N là trung điểm SC \(\Rightarrow MN\) là đường trung bình tam giác SCD

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}MN||CD\\MN=\dfrac{1}{2}CD\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}MN||AH\\MN=AH\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow AMNH\) là hbh

\(\Rightarrow AM||HN\Rightarrow AM||\left(SHC\right)\)

\(\Rightarrow d\left(AM;SC\right)=d\left(AM;\left(SHC\right)\right)=d\left(A;\left(SHC\right)\right)\)

Mặt khác H là trung điểm AB \(\Rightarrow d\left(A;\left(SHC\right)\right)=d\left(B;\left(SHC\right)\right)\)

Từ B kẻ \(BE\perp HC\Rightarrow BE\perp\left(SHC\right)\) (do \(SH\perp BE\))

\(\Rightarrow BE=d\left(B;\left(SHC\right)\right)\)

Hệ thức lượng: \(BE=\dfrac{BH.BC}{CH}=\dfrac{BH.BC}{\sqrt{BH^2+BC^2}}=\dfrac{a\sqrt{5}}{5}\)

b.

Từ D kẻ \(DF\perp HC\Rightarrow DF\perp\left(SHC\right)\) (do \(SH\perp DF\))

\(\Rightarrow DF=d\left(D;\left(SHC\right)\right)\)

\(DF=DC.cos\widehat{FDC}=DC.cos\widehat{BCH}=\dfrac{DC.BC}{CH}=\dfrac{DC.BC}{\sqrt{BC^2+BH^2}}=\dfrac{2a\sqrt{5}}{5}\)

Vì $SA \perp (ABCD)$ nên hình chiếu vuông góc của điểm $S$ xuống mặt phẳng $(ABCD)$ là điểm $A$.

Xét đường thẳng $SD$:

Góc giữa đường thẳng $SD$ và mặt phẳng $(ABCD)$ chính là góc giữa $SD$ và hình chiếu của nó lên mặt phẳng $(ABCD)$.

Hình chiếu của $SD$ xuống $(ABCD)$ là đoạn $AD$.

Do đó góc cần tìm là góc giữa $SD$ và $AD$, tức là:
$\widehat{SDA}$.

Đáp án: C. $\widehat{SDA}$

Kẻ \(AF\perp SD\) ; \(\left\{{}\begin{matrix}SA\perp\left(ABCD\right)\Rightarrow SA\perp CD\\CD\perp AD\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow CD\perp\left(SAD\right)\Rightarrow CD\perp AF\)

\(\Rightarrow AF\perp\left(SCD\right)\)

Kẻ \(AG\perp BD\) ; trong mp (SBD) kẻ \(AH\perp SG\)

\(\Rightarrow AH\perp\left(SBD\right)\)

\(\Rightarrow\widehat{FAH}\) là góc giữa (SCD) và (SBD)

\(AH\perp\left(SBD\right)\Rightarrow AH\perp FH\Rightarrow\Delta FAH\) vuông tại H

Tam giác SAD vuông cân tại A \(\Rightarrow AF=\dfrac{1}{2}SD=\dfrac{a\sqrt{2}}{2}\)

Hệ thức lượng tam giác SBD: \(\dfrac{1}{AG^2}=\dfrac{1}{AD^2}+\dfrac{1}{AB^2}=\dfrac{5}{4a^2}\)

Hệ thức lượng tam giác SAG: \(\dfrac{1}{AH^2}=\dfrac{1}{SA^2}+\dfrac{1}{AG^2}=\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{5}{4a^2}=\dfrac{9}{4a^2}\Rightarrow AH=\dfrac{2a}{3}\)

\(\Rightarrow cos\widehat{FAH}=\dfrac{AH}{AF}=\dfrac{2\sqrt{2}}{3}\)

\(\Rightarrow\widehat{FAH}\approx19^028'\)