a) Ta có: I ∈ (SAD) ⇒ I ∈ (SAD) ∩ (IBC)

Vậy

Và PQ //AD // BC (1)

Tương tự: J ∈ (SBC) ⇒ J ∈ (SBC) ∩ (JAD)

Vậy

Từ (1) và (2) suy ra PQ // MN.

b) Ta có:

Do đó: EF = (AMND) ∩ (PBCQ)

Mà

Tính

EF: CP ∩ EF = K ⇒ EF = EK + KF

Từ (∗) suy ra

Tương tự ta tính được KF = 2a/5

Vậy: 

a) S là điểm chung của hai mặt phẳng (SAB) và (SCD) mà AB // CD

Từ S kẻ Sx sao cho Sx // AB // CD nên Sx là giao tuyến của hai mặt phẳng (SAB) và (SCD).

b) Gọi E là trung điểm của AB

G là trọng tâm tam giác SAB nên \(\frac{{EG}}{{SE}} = \frac{1}{3}\)

N là trọng tâm tam giác ABC nên\(\frac{{EN}}{{EC}} = \frac{1}{3}\)

Theo Ta lét, suy ra GN // SC mà SC \( \subset \) (SAC). Do đó, GN // (SAC)

Xét tam giác SAB ta có: MN là đường trung bình suy ra MN // AB.

Tương tự ta có: NP // BC, PQ // CD, MQ // AD.

Mà ABCD là hình bình hành nên AB // CD, AD// CD, suy ra MN // PQ, MQ // NP.

Như vậy, MNPQ là hình bình hành.

Trong mp(ABD), Gọi K là giao điểm của BN và AD

Xét ΔBAD có

N là trọng tâm

K là giao điểm của BN và AD

DO đó: K là trung điểm của AD

Xét ΔBAD có

N là trọng tâm

BK là đường trung tuyến

Do đó: \(BN=\frac23BK\)

Ta có: SM+MB=SB

=>MB=SB-SM=3SM-SM=2SM

=>\(\frac{BM}{BS}=\frac{2MS}{3MS}=\frac23\)

Xét ΔBKS có \(\frac{BN}{BK}=\frac{BM}{BS}\left(=\frac23\right)\)

nên MN//SK

mà SK⊂(SAD) và MN không thuộc mp(SAD)

nên MN//(SAD)

Trong mp(SDC), gọi F là giao điểm của CG và SD

Xét ΔSDC có

G là trọng tâm

F là giao điểm của CG và SD

Do đó: F là trung điểm của SD

Xét ΔSCD có

F là trung điểm của SD

G là trọng tâm

Do đó: \(CG=\frac23CF\)

=>CG=2GF

Trong mp(ABCD), gọi O là giao điểm của AC và BD

ABCD là hình bình hành

=>AC cắt BD tại trung điểm của mỗi đường

=>O là trung điểm chung của AC và BD

Xét ΔDAB có

N là trọng tâm

O là trung điểm của BD

Do đó: A,N,O thẳng hàng

=>\(AN=\frac23AO=\frac23OC;ON=\frac13OA=\frac13OC\)

Vì A,N,O thẳng hàng

và A,O,C thẳng hàng

nên A,N,O,C thẳng hàng

\(NC=NO+OC\)

\(=\frac13AO+AO=\frac43AO\)

=>\(\frac{CN}{NA}=\frac{\frac43AO}{\frac23AO}=\frac43:\frac23=2\)

Xét ΔCAF có \(\frac{CN}{NA}=\frac{CG}{GF}\left(=2\right)\)

nên GN//AF

mà AF⊂(SAD)

và GN không thuộc mp(SAD)

nên GN//(SAD)