Đáp án là D

Chọn đáp án D.

Đặt hệ trục tọa độ:

$A(0,0,0),\ B(a,0,0),\ D(0,3a,0)$.

Trung điểm $H$ của $AB$ là hình chiếu của $S$ lên đáy:

$H\left(\dfrac{a}{2},0,0\right) \implies S\left(\dfrac{a}{2},0,h\right)$.

Đường chéo $BD$:

$BD^2 = (a-0)^2 + (0-3a)^2 = a^2 + 9a^2 = 10 a^2$.

Góc giữa mặt phẳng $(SBD)$ và đáy là $60^\circ$, do đó:

$\sin 60^\circ = \dfrac{SH}{\sqrt{\left(\dfrac{a}{2}\right)^2 + (3a)^2 + h^2}} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$.

Giải ra:

$\dfrac{3}{4} = \dfrac{h^2}{\dfrac{37 a^2}{4} + h^2} \implies 3\left(\dfrac{37 a^2}{4} + h^2\right) = 4 h^2 \implies h^2 = \dfrac{111 a^2}{4} \implies h = \dfrac{\sqrt{111}}{2} a$.

Diện tích đáy $ABCD$ (hình thang vuông tại $A$ và $B$):

$S_{ABCD} = \dfrac{(AD + BC) \cdot \text{chiều cao}}{2} = \dfrac{(3a + 2a) \cdot 3a}{2} = \dfrac{15 a^2}{2}$.

Thể tích khối chóp:

$V = \dfrac{1}{3} S_{ABCD} \cdot SH = \dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{15 a^2}{2} \cdot \dfrac{\sqrt{111}}{2} a = \dfrac{15 \sqrt{111}}{12} a^3 = \dfrac{5 \sqrt{111}}{4} a^3$.

$V = \dfrac{5 \sqrt{111}}{4} a^3$

Đặt hệ trục tọa độ:

$A(0,0,0),\ B(a,0,0),\ D(0,b,0)$.

Trung điểm $H$ của $AB$ là hình chiếu của $S$ lên đáy:

$H\left(\dfrac{a}{2},0,0\right) \implies S\left(\dfrac{a}{2},0,h\right)$.

Đường chéo $BD$:

$BD^2 = (B_x - D_x)^2 + (B_y - D_y)^2 = a^2 + b^2 = 10 a^2 \implies b^2 = 9 a^2 \implies b = 3a$.

Góc giữa mặt phẳng $(SBD)$ và đáy là $60^\circ$, do đó:

$\sin 60^\circ = \dfrac{SH}{\sqrt{SD_x^2 + SD_y^2 + h^2}} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$

với $SD_x^2 + SD_y^2 = \left(\dfrac{a}{2} - 0\right)^2 + (0 - 3a)^2 = \dfrac{a^2}{4} + 9 a^2 = \dfrac{37 a^2}{4}$.

Giải ra $h$:

$\dfrac{\sqrt{3}}{2} = \dfrac{h}{\sqrt{\dfrac{37 a^2}{4} + h^2}} \implies \dfrac{3}{4} = \dfrac{h^2}{\dfrac{37 a^2}{4} + h^2} \implies 3\left(\dfrac{37 a^2}{4} + h^2\right) = 4 h^2 \implies h^2 = \dfrac{111 a^2}{4} \implies h = \dfrac{\sqrt{111}}{2} a$.

Diện tích đáy $ABCD$ (hình thang vuông tại $A$ và $B$):

$S_{ABCD} = \dfrac{(AD + BC) \cdot \text{chiều cao}}{2} = \dfrac{(3a + 2a) \cdot 3a}{2} = \dfrac{15 a^2}{2}$.

Thể tích khối chóp:

$V = \dfrac{1}{3} S_{ABCD} \cdot SH = \dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{15 a^2}{2} \cdot \dfrac{\sqrt{111}}{2} a = \dfrac{15 \sqrt{111}}{12} a^3 = \dfrac{5 \sqrt{111}}{4} a^3$.

Đáp án B

A C = 2 S A = 2 tan 60 0 = 2 3 V = 1 3 .2 3 .1. 3 = 2

Đặt hệ tọa độ:
$A(0,0,0),\ B(1,0,0),\ D(0,3,0),\ C(1,3,0),\ S(0,0,h)$ với $SA \perp (ABCD)$.

Đường thẳng $SC$ có tọa độ $S(0,0,h)$, $C(1,3,0)$ nên vector $\vec{SC} = (1,3,-h)$.

Góc giữa $SC$ và mặt phẳng đáy là $60^\circ$, tức:
$ \cos 60^\circ = \frac{\text{phần chiếu của SC trên mặt phẳng đáy}}{\text{độ dài SC}} = \frac{\sqrt{1^2 + 3^2}}{\sqrt{1^2 + 3^2 + h^2}} = \frac{\sqrt{10}}{\sqrt{10 + h^2}}$

$\Rightarrow \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{10}}{\sqrt{10 + h^2}}$

$\Rightarrow \sqrt{10 + h^2} = 2 \sqrt{10} \Rightarrow 10 + h^2 = 40 \Rightarrow h^2 = 30 \Rightarrow h = \sqrt{30}$.

Diện tích đáy: $S_{ABCD} = AB \cdot AD = 1 \cdot 3 = 3$.

Thể tích khối chóp:
$V = \frac{1}{3} S_{ABCD} \cdot h = \frac{1}{3} \cdot 3 \cdot \sqrt{30} = \sqrt{30}$.

Vậy thể tích $V = \sqrt{30}$, nhưng các đáp án cho sẵn là số nguyên. Có thể trong đề, người ra đề dùng $SC$ tạo với đáy 60° theo vector hạ xuống đáy theo trục z, tức $ \tan 60^\circ = \frac{h}{\text{chiều dài trên đáy}} = \frac{h}{\sqrt{AB^2 + AD^2}} = \frac{h}{\sqrt{1^2 + 3^2}} = \frac{h}{\sqrt{10}}$

$\Rightarrow \sqrt{3} = \frac{h}{\sqrt{10}} \Rightarrow h = \sqrt{30}$.

Thể tích: $V = \frac{1}{3} \cdot 3 \cdot \sqrt{30} = \sqrt{30}$.

Đáp án D

Dựng HK ⊥ BD, do SH ⊥ BD nên ta có:

(SKH) ⊥ BD =>  Góc giữa hai mặt phẳng (SBD) và mặt phẳng đáy là góc SKH = 60⁰

Lại có: 

Do đó

Vậy 

Đặt hệ trục tọa độ:
$A(0,0,0),\ B(a,0,0),\ D(0,3a,0)$.

Trung điểm $H$ của $AB$ là hình chiếu của $S$ lên đáy: $H\left(\dfrac{a}{2},0,0\right) \implies S\left(\dfrac{a}{2},0,h\right)$.

Đường chéo $BD$ tính theo tọa độ: $BD^2 = (a-0)^2 + (0-3a)^2 = a^2 + 9a^2 = 10a^2$.

Góc giữa mặt phẳng $(SBD)$ và đáy là $60^\circ$, do đó:
$\sin 60^\circ = \dfrac{SH}{\sqrt{\left(\dfrac{a}{2}\right)^2 + (3a)^2 + h^2}} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$.

Giải ra:
$\dfrac{3}{4} = \dfrac{h^2}{\dfrac{a^2}{4} + 9a^2 + h^2} = \dfrac{h^2}{\dfrac{37 a^2}{4} + h^2} \implies 3\left(\dfrac{37a^2}{4} + h^2\right) = 4h^2$

$\dfrac{111 a^2}{4} + 3h^2 = 4h^2 \implies h^2 = \dfrac{111 a^2}{4} \implies h = \dfrac{\sqrt{111}}{2} a$.

Diện tích đáy $ABCD$ (hình thang vuông tại $A$ và $B$):
$S_{ABCD} = \dfrac{(AD + BC) \cdot \text{chiều cao}}{2} = \dfrac{(3a + 2a) \cdot 3a}{2} = \dfrac{15 a^2}{2}$.

Thể tích khối chóp:
$V = \dfrac{1}{3} S_{ABCD} \cdot SH = \dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{15 a^2}{2} \cdot \dfrac{\sqrt{111}}{2} a = \dfrac{15 \sqrt{111}}{12} a^3 = \dfrac{5 \sqrt{111}}{4} a^3$.

$\boxed{V = \dfrac{5 \sqrt{111}}{4} a^3}$

Đáp án A

Đặt hệ trục tọa độ: $A(0,0,0),\ B(a,0,0),\ C(a,a,0),\ D(0,a,0),\ S(0,0,h)$.

Góc giữa mặt phẳng $(SBC)$ và đáy $(ABCD)$ là $60^\circ$ nên:

- Vector pháp tuyến mặt phẳng đáy: $\vec{n}_0 = (0,0,1)$

- Vector pháp tuyến mặt phẳng $(SBC)$: $\vec{n}_1$ vuông góc với $(SBC)$, đi qua $B,C,S$.

- Góc $\theta$ giữa mặt phẳng: $\sin \theta = \frac{|\text{chiều cao từ S tới BC}|}{|\vec{SB} \times \vec{SC}| / |BC|}$

Nhận thấy mặt phẳng $(SBC)$ là tam giác vuông tại $S$ vì $SA \perp (ABCD)$, và góc với đáy $60^\circ$.

Chiều cao $h$ tính theo $a$:

$\sin 60^\circ = \frac{h}{\sqrt{a^2 + h^2}} \Rightarrow \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{h}{\sqrt{a^2 + h^2}}$

$\Rightarrow 3(a^2 + h^2) = 4 h^2 \Rightarrow 3 a^2 + 3 h^2 = 4 h^2 \Rightarrow h^2 = 3 a^2 \Rightarrow h = a \sqrt{3}$

Thể tích khối chóp:

$V = \frac{1}{3} \cdot S_{ABCD} \cdot h = \frac{1}{3} \cdot a^2 \cdot a\sqrt{3} = \frac{a^3 \sqrt{3}}{3}$

Chọn B. $a^3 \sqrt{3}/3$