Đáp án là C

Kẻ đường thẳng Ax song song với IC, kẻ HE ⊥ Ax tại E.

Vì IC//(SAE) nên 

Từ (1), (2) suy ra HK ⊥ (SAE). 

=> Tam giác SAH vuông cân tại H nên 

Ta có  

( vì tứ giác AIHE là hình chữ nhật)

= a 77 22

Đáp án D

Tam giác $ABC$ vuông tại $A$, có
$AB = 2,\ \widehat{ABC}=60^\circ$.

Trong tam giác vuông $ABC$:

$\cos 60^\circ = \dfrac{AB}{BC}$

$\dfrac12 = \dfrac{2}{BC} \Rightarrow BC = 4$.

=> $AC = BC\sin60^\circ = 4 \cdot \dfrac{\sqrt3}{2} = 2\sqrt3$.

Diện tích đáy $ABC$ là:

$S_{ABC} = \dfrac12 AB \cdot AC$

$= \dfrac12 \cdot 2 \cdot 2\sqrt3 = 2\sqrt3$.

Gọi $H$ là trung điểm của $BC$.
Vì tam giác $ABC$ vuông tại $A$ nên:

$AH = \dfrac{BC}{2} = 2$.

Góc giữa $SA$ và mặt phẳng đáy bằng $45^\circ$ nên:

$\tan 45^\circ = \dfrac{SA}{AH}$

$1 = \dfrac{SA}{2} \Rightarrow SA = 2$.

Thể tích khối chóp $S.ABC$:

$V = \dfrac13 S_{ABC} \cdot SA$

$= \dfrac13 \cdot 2\sqrt3 \cdot 2$

$= \dfrac{4\sqrt3}{3}$.

A E M B C H N S

Xét tam giác ABC có : \(BC=AB.\tan60^0=2a\sqrt{3}\Rightarrow S_{\Delta ABC}=2a^2\sqrt{3}\)

\(V_{S.ABCD}=\frac{1}{3}SA.S_{\Delta ABC}=\frac{1}{3}a\sqrt{3}.2a^2\sqrt{3}=2a^3\)

- Gọi N là trung điểm cạnh SA. Do SB//(CMN) nên d(SB. CM)=d(SB,(CMN))

                                                                                                 =d(B,(CMN))

                                                                                                 =d(A,(CMN))

- Kẻ \(AE\perp MC,E\in MC\) và kẻ \(AH\perp NE,H\in NE\), ta chứng minh được \(AH\perp\left(CMN\right)\Rightarrow d\left(A,\left(CMN\right)\right)=AH\)

Tính \(AE=\frac{2S_{\Delta AMC}}{MC}\) trong đó :

                              \(S_{\Delta AMC}=\frac{1}{2}AM.AC.\sin\widehat{CAM}=\frac{1}{2}a.4a\frac{\sqrt{3}}{2}=a^2\sqrt{3};MC=a\sqrt{13}\)

                             \(\Rightarrow AE=\frac{2a\sqrt{3}}{\sqrt{13}}\)

Tính được \(AH=\frac{2a\sqrt{3}}{\sqrt{29}}\Rightarrow d\left(A,\left(CMN\right)\right)=\frac{2a\sqrt{3}}{\sqrt{29}}\Rightarrow d\left(SB,CM\right)=\frac{2a\sqrt{3}}{\sqrt{29}}\)

Đáp án A.

Hướng dẫn giải:

Vì S H ⊥ ( A B C ) nên hình chiếu vuông góc của SA trên mặt đáy (ABC) là HA. Do đó

Tam giác ABC đều cạnh a nên A H = a 3 2 .

Tam giác vuông SHA

Diện tích tam giác đều ABC là S ∆ A B C = a 3 3 4 .

Vậy  V S . A B C D = 1 3 S ∆ A B C . S H = a 3 3 8

Đáy $ABC$ là tam giác đều cạnh $a$ nên:

$S_{ABC} = \dfrac{\sqrt3}{4}a^2$.

Gọi $H$ là trung điểm của $BC$. Trong tam giác đều $ABC$ ta có:

$AH = \dfrac{\sqrt3}{2}a$.

Góc giữa đường thẳng $SA$ và mặt phẳng $(ABC)$ bằng $60^\circ$ nên:

$\tan 60^\circ = \dfrac{SH}{AH}$

$\sqrt3 = \dfrac{SH}{\dfrac{\sqrt3}{2}a}$

$\Rightarrow SH = \dfrac{3a}{2}$.

Thể tích khối chóp $S.ABC$ là:

$V = \dfrac13 S_{ABC} \cdot SH$

$= \dfrac13 \cdot \dfrac{\sqrt3}{4}a^2 \cdot \dfrac{3a}{2}$

$= \dfrac{a^3\sqrt3}{8}$.

Vậy $V = \dfrac{a^3\sqrt3}{8}$

x s K A N B H D C

Ta có : \(\widehat{SCH}\) là góc giữa SC và mặt phẳng (ABC). 

\(\Rightarrow\widehat{SCH}=60^0\)

Gọi D là trung điểm cạnh AB. Ta có :

\(HD=\frac{a}{6}\), CD= \(\frac{a\sqrt{3}}{2}\)

\(HC=\sqrt{HD^2+CD^2}=\frac{a\sqrt{7}}{3}\)

\(SH=HC.\tan60^0=\frac{a\sqrt{21}}{3}\)

\(V_{s.ABC}=\frac{1}{3}.SH.S_{\Delta ABC}=\frac{1}{3}.\frac{a\sqrt{21}}{3}.\frac{a^2\sqrt{3}}{4}=\frac{a^3\sqrt{7}}{12}\)

Kẻ Ax song song với BC, gọi N, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của H lên Ax và SN. Ta có BC song song với mặt phẳng (SAN) và \(BA=\frac{3}{2}HA\)

Nên \(d\left(SA.BC\right)=d\left(B,\left(SAN\right)\right)=\frac{3}{2}d\left(H.\left(SAN\right)\right)\)

\(AH=\frac{2a}{3}\); \(HN=AH.\sin60^0=\frac{a\sqrt{3}}{3}\)

\(HK=\frac{SH.HN}{\sqrt{SH^2+HN^2}}=\frac{a\sqrt{42}}{12}\)

Vậy \(d\left(SA.BC\right)=\frac{a\sqrt{42}}{8}\)

Góc 60 là góc SCH. Dễ dàng tính được V
Trong (ABC), kẻ At // BC, Cz//AB, giao At=N
d(sa,bc)=d(bc, (SAN))=d(B, (SAN))=3/2 d(H, (SAN)).
Từ H kẻ HE vuông AN
 Trong (SHE) kẻ HF vuông SE
=> d(H(SAN))=HF

Đặt: $AB=BC=a$

Vì $ABC$ vuông cân tại $B$ nên: $AC=a\sqrt2$

Do $SA\perp(ABC)$ nên $SA$ là chiều cao.

Góc giữa hai mặt phẳng $(ABC)$ và $(SBC)$ chính là góc giữa hai đường thẳng cùng vuông góc với giao tuyến $BC$.

Trong mặt phẳng đáy: $AB\perp BC$

Trong mặt phẳng $(SBC)$:

$SB\perp BC$ ⇒ $\widehat{(ABC),(SBC)}=\widehat{ABS}=60^\circ$

Xét tam giác vuông $SAB$ tại $A$:

$\tan 60^\circ=\dfrac{SA}{AB}$

$\sqrt3=\dfrac{SA}{a}$

⇒ $SA=a\sqrt3$

Thể tích khối chóp:

$V=\dfrac13 S_{ABC}\cdot SA$

$S_{ABC}=\dfrac12 a^2$

⇒ $V=\dfrac13\cdot\dfrac12 a^2\cdot a\sqrt3 =\dfrac{a^3\sqrt3}{6}$

Khoảng cách giữa hai đường chéo nhau:

$d=\dfrac{2V}{AB\cdot SC}$

Ta có: $SC=\sqrt{SA^2+AC^2} =\sqrt{3a^2+2a^2} =a\sqrt5$

=> $d=\dfrac{2\cdot\dfrac{a^3\sqrt3}{6}}{a\cdot a\sqrt5} =\dfrac{a\sqrt3}{3\sqrt5} =\dfrac{a\sqrt{15}}{15}$