Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Đặt hệ trục tọa độ sao cho:
$B(0,0,0),\ A(a,0,0),\ C(0,2a,0)$.
Vì $SA\perp(ABC)$ và $SA=3a$ nên:
$S(a,0,3a)$.
Ta có:
$\vec{AC}=(-a,2a,0),\ \vec{AS}=(0,0,3a)$.
Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(SAC)$ là:
$\vec n_1=\vec{AC}\times\vec{AS}=(6a^2,3a^2,0)$.
Suy ra có thể lấy:
$\vec n_1=(2,1,0)$.
Trong mặt phẳng $(SBC)$:
$\vec{BC}=(0,2a,0),\ \vec{BS}=(a,0,3a)$.
Vectơ pháp tuyến là:
$\vec n_2=\vec{BC}\times\vec{BS}=(6a^2,0,-2a^2)$.
Suy ra: $\vec n_2=(3,0,-1)$.
Góc giữa hai mặt phẳng bằng góc giữa hai vectơ pháp tuyến nên:
$\cos\alpha=\dfrac{|\vec n_1\cdot\vec n_2|}{|\vec n_1||\vec n_2|}=\dfrac{|2\cdot3+1\cdot0+0\cdot(-1)|}{\sqrt{2^2+1^2}\sqrt{3^2+(-1)^2}}=\dfrac{6}{\sqrt5\sqrt10}=\dfrac{6}{5\sqrt2}$.
Suy ra: $\sin\alpha=\sqrt{1-\cos^2\alpha}=\sqrt{1-\dfrac{36}{50}}=\sqrt{\dfrac{14}{50}}=\dfrac{\sqrt7}{5}$.
Vậy:
$\boxed{\sin\alpha=\dfrac{\sqrt7}{5}}$.
Chọn đáp án D.
Gọi $AB=AC=a$ vì đáy $ABC$ là tam giác vuông cân tại $A$.
Do $SA \perp (ABC)$ nên đặt: $SA=h$.
Thể tích khối chóp:
$V=\dfrac13\cdot\dfrac{a^2}{2}\cdot h=\dfrac{a^2h}{6}$.
Gọi $d$ là khoảng cách từ $A$ đến mặt phẳng $(SBC)$.
Theo giả thiết: $d=3$.
Ta có công thức thể tích theo đáy $SBC$:
$V=\dfrac13 S_{SBC}\cdot d=S_{SBC}$.
Suy ra: $S_{SBC}=\dfrac{a^2h}{6}$.
Gọi $M$ là trung điểm của $BC$.
Vì tam giác $ABC$ vuông cân tại $A$ nên:
$AM\perp BC$ và: $AM=\dfrac{a}{\sqrt2}$.
Mặt khác: $SA\perp BC$.
Suy ra mặt phẳng $(SAM)\perp BC$.
Do đó góc giữa hai mặt phẳng $(SBC)$ và $(ABC)$ là:
$\alpha=\widehat{SMA}$.
Xét tam giác vuông $SAM$ tại $A$:
$\tan\alpha=\dfrac{SA}{AM}=\dfrac{h}{a/\sqrt2}=\dfrac{h\sqrt2}{a}$.
Suy ra: $h=\dfrac{a\tan\alpha}{\sqrt2}$.
Thể tích:
$V=\dfrac{a^2}{6}\cdot\dfrac{a\tan\alpha}{\sqrt2} =\dfrac{a^3\tan\alpha}{6\sqrt2}$.
Mặt khác khoảng cách từ $A$ đến $(SBC)$ bằng:
$d=AM\sin\alpha =\dfrac{a}{\sqrt2}\sin\alpha=3$.
Suy ra: $a=\dfrac{3\sqrt2}{\sin\alpha}$.
Thế vào biểu thức thể tích:
$V=\dfrac1{6\sqrt2}\left(\dfrac{3\sqrt2}{\sin\alpha}\right)^3\tan\alpha$
$=\dfrac{9}{\sin^2\alpha\cos\alpha}$.
Đặt: $t=\cos\alpha$ với $0<t<1$.
Khi đó: $V=\dfrac{9}{(1-t^2)t}$.
Để $V$ nhỏ nhất thì: $(1-t^2)t=t-t^3$ phải lớn nhất.
Xét: $f(t)=t-t^3$.
$f'(t)=1-3t^2$.
$f'(t)=0 \Rightarrow t=\dfrac1{\sqrt3}$.
Vậy: $\cos\alpha=\dfrac{\sqrt3}{3}$.
Chọn đáp án C.
Phương pháp:
- Sử dụng phương pháp tọa độ trong không gian, gắn hệ trục tọa độ gốc A và các trục tọa độ sao cho
- Sử dụng các công thức điểm, véc tơ, mặt phẳng, góc giữa hai mặt phẳng để tính toán.
Cách giải:
Gắn hệ trục tọa độ như hình vẽ, giả sử ABCD là hình vuông cạnh l,
chiều cao hình chóp SH = h.
