Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Đáy $ABC$ là tam giác vuông cân tại $A$ nên:
$AB = AC = a \Rightarrow BC = a\sqrt2$.
Do $SA \perp (ABC)$ nên tam giác $SBC$ vuông tại $A$, suy ra:
$SC^2 = SA^2 + AC^2 = (2a)^2 + a^2 = 5a^2 \Rightarrow SC = a\sqrt5$.
Mặt khác: $SB^2 = SA^2 + AB^2 = 4a^2 + a^2 = 5a^2 \Rightarrow SB = a\sqrt5$.
Xét tam giác $SBC$:
$SB^2 + BC^2 = 5a^2 + 2a^2 = 7a^2 \ne SC^2$.
Xét tam giác $SAB$:
$SA \perp AB \Rightarrow \triangle SAB$ vuông tại $A$.
Xét tam giác $SAC$:
$SA \perp AC \Rightarrow \triangle SAC$ vuông tại $A$.
Do đó $A$ cách đều $S,B,C$ nên $A$ là tâm mặt cầu ngoại tiếp.
Bán kính: $R = SA = 2a$.
Vậy $R = 2a$.
Chọn đáp án B.
Đáy $ABC$ là tam giác vuông tại $B$ nên:
$AC^2 = AB^2 + BC^2 = a^2 + (a\sqrt3)^2 = a^2 + 3a^2 = 4a^2 \Rightarrow AC = 2a$.
Do $SA \perp (ABC)$ nên tam giác $SAC$ vuông tại $A$, suy ra:
$SC^2 = SA^2 + AC^2 = (2a\sqrt3)^2 + (2a)^2 = 12a^2 + 4a^2 = 16a^2 \Rightarrow SC = 4a$.
Xét tam giác $SBC$: $SB^2 = SA^2 + AB^2 = 12a^2 + a^2 = 13a^2$,
$BC = a\sqrt3 \Rightarrow BC^2 = 3a^2$.
Ta có: $SB^2 + BC^2 = 13a^2 + 3a^2 = 16a^2 = SC^2$.
Suy ra $\triangle SBC$ vuông tại $B$, nên tâm mặt cầu ngoại tiếp là trung điểm của $SC$.
Bán kính: $R = \dfrac{SC}{2} = \dfrac{4a}{2} = 2a$.
Vậy $R = 2a$.
Chọn đáp án D.
Dựng tam giác đều IAB (I và C cùng phía bờ AB). Ta có ∠ I B C = 120 ° - 60 ° = 60 ° và IB=BC nên DIBC đều, IA=IB=IC=a
Qua I dựng đường thẳng song song với SA, cắt đường trung trực của SA tại O thì O là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.
Gọi M là trung điểm của SA.
Chọn hệ trục tọa độ:
$B(0,0,0),\ A(a,0,0)$
Vì $\widehat{ABC} = 120^\circ,\ BC = a$ nên:
$C\left(a\cos120^\circ,\ a\sin120^\circ,\ 0\right) = \left(-\dfrac{a}{2},\ \dfrac{a\sqrt{3}}{2},\ 0\right)$
Vì $SA \perp (ABC),\ SA = 2a$ nên đặt:
$S(a,0,2a)$
Gọi $O(x,y,z)$ là tâm mặt cầu ngoại tiếp
Do $OA = OB = OC = OS$
Từ $OA = OB$:
$(x-a)^2 + y^2 + z^2 = x^2 + y^2 + z^2 \Rightarrow x = \dfrac{a}{2}$
Từ $OB = OC$:
$x^2 + y^2 + z^2 = \left(x + \dfrac{a}{2}\right)^2 + \left(y - \dfrac{a\sqrt{3}}{2}\right)^2 + z^2$
Thay $x = \dfrac{a}{2}$ ⇒ $y = \dfrac{a}{2\sqrt{3}}$
Từ $OA = OS$:
$(x-a)^2 + y^2 + z^2 = (x-a)^2 + y^2 + (z-2a)^2$
$\Rightarrow z = a$
Suy ra:
$O\left(\dfrac{a}{2},\ \dfrac{a}{2\sqrt{3}},\ a\right)$
Bán kính:
$R^2 = OA^2 = \left(-\dfrac{a}{2}\right)^2 + \left(\dfrac{a}{2\sqrt{3}}\right)^2 + a^2$
$= \dfrac{a^2}{4} + \dfrac{a^2}{12} + a^2 = \dfrac{4a^2}{3}$
Suy ra:
$R = \dfrac{2a}{\sqrt{3}} = \dfrac{2a\sqrt{3}}{3}$
Áp dụng BĐT tam giác ta có:
a+b>c =>c-a<b =>c2-2ac+a2<b2
a+c>b =>b-c <a =>b2-2bc+c2<a2
b+c>a =>a-b<c =>a2-2ab+b2<c2
Suy ra: c2-2ac+a2+b2-2bc+c2+a2-2ab+b2<a2+b2+c2
<=>-2.(ab+bc+ca)+2.(a2+b2+c2)<a2+b2+c2
<=>-2(ab+bc+ca)<-(a2+b2+c2)
<=>2.(ab+bc+ca)<a2+b2+c2
Chọn B.
Phương pháp:
+ Gọi H là trung điểm BC. Ta chứng minh A H ⊥ A B C và AH là trục đường tròn ngoại tiếp tam giác
SBC
+ Suy ra tâm mặt cầu ngoại tiếp chóp S. ABC là giao của AH và đường trung trực cạnh AB.
+ Chỉ ra tam giác SBC vuông tại S từ đó tính SC theo định lý Pytago.
Cách giải:
Vì $(SBC) \perp (ABC)$ nên giao tuyến là $BC$ và:
$SA = SB = a \Rightarrow S$ nằm trên mặt phẳng trung trực của $AB$
Đặt hệ tọa độ:
$A(0,0,0),\ B(a,0,0),\ C(0,a,0)$ (tam giác cân tại $A$ với $AB = AC = a$)
Vì $SA = SB = a$ ⇒ $S$ thuộc mặt phẳng trung trực của $AB$ ⇒ $x = \dfrac{a}{2}$
Đặt: $S\left(\dfrac{a}{2},\ y,\ z\right)$
Do $(SBC) \perp (ABC)$ ⇒ pháp tuyến $(SBC)$ vuông góc $(0,0,1)$
⇒ $\vec{SB} \times \vec{SC}$ không có thành phần $z$
Sau khi tính toán suy ra:
$y = \dfrac{a}{2}$
Từ $SA = a$:
$\left(\dfrac{a}{2}\right)^2 + \left(\dfrac{a}{2}\right)^2 + z^2 = a^2$
$\Rightarrow z^2 = \dfrac{a^2}{2} \Rightarrow z = \dfrac{a}{\sqrt{2}}$
Suy ra:
$S\left(\dfrac{a}{2},\ \dfrac{a}{2},\ \dfrac{a}{\sqrt{2}}\right)$
Gọi $O$ là tâm mặt cầu ngoại tiếp, do tính đối xứng:
$O\left(\dfrac{a}{2},\ \dfrac{a}{2},\ t\right)$
Vì $R = a$ nên:
$OA^2 = a^2$
$\Rightarrow \left(\dfrac{a}{2}\right)^2 + \left(\dfrac{a}{2}\right)^2 + t^2 = a^2$
$\Rightarrow t^2 = \dfrac{a^2}{2}$
Lại có:
$OS^2 = a^2$
$\Rightarrow \left(\dfrac{a}{\sqrt{2}} - t\right)^2 = \dfrac{a^2}{2}$
⇒ suy ra $t = 0$
Vậy tâm:
$O\left(\dfrac{a}{2},\ \dfrac{a}{2},\ 0\right)$
Tính $SC$:
$\vec{SC} = \left(-\dfrac{a}{2},\ \dfrac{a}{2},\ -\dfrac{a}{\sqrt{2}}\right)$
$SC^2 = \dfrac{a^2}{4} + \dfrac{a^2}{4} + \dfrac{a^2}{2} = a^2$
Suy ra:
$\boxed{SC = a}$
Đáp án C.
Hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng (ABC) thì mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC có bán kính r = 1 2 . S A 2 + A B 2 + A C 2 . Với giả thiết của bài toán, ta có r = a 6 2 .
Phân tích phương án nhiễu:
Phương án A: Sai do HS nhớ đúng công thức tính r = 1 2 . S A 2 + A B 2 + A C 2 nhưng lại biến đổi nhầm x 2 + y 2 + z 2 = x + y + z .
Phương án B: Sai do HS có thể gắn hệ trục tọa độ Oxyz vào hình chóp (A trùng với O và B, C, S lần lượt thuộc các tia Ox, Oy, Oz) và nhầm rằng tâm của mặt cầu chính là trọng tâm G a 3 ; a 2 3 ; a 3 3 của tam giác ABC nên tính được r = O G = a 6 3 .
Phương án D: Sai do HS nhớ nhầm công thức r = 1 2 . S A 2 + A B 2 + A C 2 thành r = S A 2 + A B 2 + A C 2 .
Chọn hệ trục tọa độ:
$A(0,0,0),\ B(a,0,0),\ C(0,a\sqrt{2},0)$ (tam giác vuông tại $A$)
Vì $SA \perp (ABC),\ SA = a\sqrt{3}$ nên đặt:
$S(0,0,a\sqrt{3})$
Gọi $O(x,y,z)$ là tâm mặt cầu ngoại tiếp ⇒
$OA = OB = OC = OS$
Từ $OA = OB$:
$x^2 + y^2 + z^2 = (x-a)^2 + y^2 + z^2 \Rightarrow x = \dfrac{a}{2}$
Từ $OA = OC$:
$x^2 + y^2 + z^2 = x^2 + (y - a\sqrt{2})^2 + z^2 \Rightarrow y = \dfrac{a\sqrt{2}}{2}$
Từ $OA = OS$:
$x^2 + y^2 + z^2 = x^2 + y^2 + (z - a\sqrt{3})^2 \Rightarrow z = \dfrac{a\sqrt{3}}{2}$
Suy ra:
$O\left(\dfrac{a}{2},\ \dfrac{a\sqrt{2}}{2},\ \dfrac{a\sqrt{3}}{2}\right)$
Bán kính:
$R^2 = OA^2 = \left(\dfrac{a}{2}\right)^2 + \left(\dfrac{a\sqrt{2}}{2}\right)^2 + \left(\dfrac{a\sqrt{3}}{2}\right)^2$
$= \dfrac{a^2}{4} + \dfrac{2a^2}{4} + \dfrac{3a^2}{4} = \dfrac{6a^2}{4} = \dfrac{3a^2}{2}$
Suy ra:
$R = \dfrac{a\sqrt{6}}{2}$