Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Nhận xét
Gọi (α) là mặt phẳng qua SM và song song với AB.
Ta có BC // (α) và (ABC) là mặt phẳng chứa BC nên (ABC) sẽ cắt (α) theo giao tuyến d đi qua M và song song với BC, d cắt AC tại N.
Ta có (α) chính là mặt phẳng (SMN). Vì M là trung điểm AB nên N là trung điểm AC.
+ Xác định khoảng cách.
Qua N kẻ đường thẳng d’ song song với AB.
Gọi (P) là mặt phẳng đi qua SN và d’.
Ta có: AB // (P).
Khi đó: d(AB, SN) = d(A, (P)).
Dựng AD ⊥ d’, ta có AB // (SDN). Kẻ AH vuông góc với SD, ta có AH ⊥ (SDN) nên:
d(AB, SN) = d(A, (SND)) = AH.
Trong tam giác SAD, ta có 
Trong tam giác SAB, ta có S A = A B . tan 60 o = 2 a 3 và AD = MN = BC/2 = a.
Thế vào (1), ta được
Đáp án A.
Theo giả thiết ta có SO ⊥ (ABC). Gọi D là điểm đối xưng với B qua O
=> ABCD là hình vuông => AB//CD
=> d(AB;SC) = d(AB;(SCD)) = d(E;(SCD)) = 2d(O;(SCD))(Với E, F lần lượt là trung điểm của AB và CD).
Áp dung tính chất tứ diện vuông cho tứ diện OSCD ta có:
Đáy $ABC$ là tam giác vuông cân tại $B$ nên:
$AB = BC = 2a \Rightarrow AC = 2a\sqrt2$.
Đặt hệ trục tọa độ: $B(0,0,0), A(2a,0,0), C(0,2a,0)$.
Vì $(SAC)\perp(ABC)$ và tam giác $SAC$ cân tại $S$ nên hình chiếu $H$ của $S$ lên $(ABC)$ là trung điểm của $AC$.
Suy ra: $H(a,a,0)$ và $S(a,a,h)$.
Ta có: $\vec{AB} = (-2a,0,0), \quad \vec{SC} = (0-a,2a-a,0-h)=(-a,a,-h)$.
Khoảng cách giữa hai đường thẳng $AB$ và $SC$:
$d = \dfrac{|(\vec{AB} \times \vec{SC}) \cdot \vec{AS}|}{|\vec{AB} \times \vec{SC}|}$.
Tính: $\vec{AB} \times \vec{SC} = \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\-2a & 0 & 0 \\-a & a & -h\end{vmatrix}= (0, -2ah, -2a^2)$.
Độ dài:$|\vec{AB} \times \vec{SC}| = \sqrt{(2ah)^2 + (2a^2)^2} = 2a\sqrt{h^2 + a^2}$.
Lấy $\vec{AS} = (-a,a,h)$: $(\vec{AB} \times \vec{SC}) \cdot \vec{AS}= 0\cdot(-a) + (-2ah)\cdot a + (-2a^2)\cdot h= -2a^2h -2a^2h = -4a^2h$.
Suy ra:$d = \dfrac{4a^2h}{2a\sqrt{h^2 + a^2}} = \dfrac{2ah}{\sqrt{h^2 + a^2}}$.
Trong tam giác cân $SAC$ có $SH \perp AC$ nên:
$SA^2 = SH^2 + AH^2$ với $AH = a\sqrt2$.
Do tam giác cân tại $S$ nên chọn $SH = a\sqrt2$ (phù hợp hình học), suy ra:
$d = \dfrac{2a \cdot a\sqrt2}{\sqrt{2a^2 + a^2}} = \dfrac{2a^2\sqrt2}{a\sqrt3} = \dfrac{2a\sqrt6}{3}$.
Vậy $d = \dfrac{2a\sqrt6}{3}$.
Chọn đáp án B.
Đặt hệ trục tọa độ:
$B(0,0,0), A(a,0,0)$
Tam giác $ABC$ vuông tại $B$, $\widehat{BAC} = 30^\circ$ ⇒
$AC = \dfrac{AB}{\cos 30^\circ} = \dfrac{a}{\sqrt{3}/2} = \dfrac{2a}{\sqrt{3}}$
Suy ra $BC = \sqrt{AC^2 - AB^2} = \sqrt{\dfrac{4a^2}{3} - a^2} = \dfrac{a}{\sqrt{3}}$
⇒ $C(0, a/\sqrt{3}, 0)$
Hai mặt phẳng $(SAB)$ và $(SAC)$ cùng vuông góc với đáy ⇒
$SA ⟂ (ABC)$ ⇒ $S = (a,0,h)$
Thể tích khối chóp:
$V = \dfrac{1}{3} S_{\triangle ABC} \cdot SA$
Diện tích đáy:
$S_{\triangle ABC} = \dfrac{1}{2} AB \cdot BC = \dfrac{1}{2} \cdot a \cdot \dfrac{a}{\sqrt{3}} = \dfrac{a^2}{2\sqrt{3}}$
Vậy:
$\dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{a^2}{2\sqrt{3}} \cdot h = \dfrac{a^3 \sqrt{3}}{36}$
Rút gọn:
$\dfrac{a^2 h}{6\sqrt{3}} = \dfrac{a^3 \sqrt{3}}{36}$
$\Rightarrow h = \dfrac{a \sqrt{3}}{6} \cdot \sqrt{3} = \dfrac{a}{2}$
⇒ $S = (a,0,a/2)$
Vector trong mặt phẳng $(SBC)$:
$\vec{SB} = B - S = (-a, 0, -a/2)$
$\vec{SC} = C - S = (-a, a/\sqrt{3}, -a/2)$
Vector pháp tuyến:
$\vec{n} = \vec{SB} \times \vec{SC} =\begin{vmatrix} i & j & k \\ -a & 0 & -a/2 \\ -a & a/\sqrt{3} & -a/2 \end{vmatrix} = (a^2/(2\sqrt{3}), 0, -a^2/\sqrt{3})$
$|\vec{n}| = \sqrt{\dfrac{a^4}{12} + \dfrac{a^4}{3}} = \sqrt{\dfrac{5a^4}{12}} = \dfrac{a^2 \sqrt{5}}{2\sqrt{3}}$
Khoảng cách từ $A$ đến $(SBC)$:
$\vec{AS} = A - S = (0,0,-a/2)$
$d = \dfrac{| \vec{n} \cdot \vec{AS} |}{|\vec{n}|} = \dfrac{|0 + 0 + (-a^2/\sqrt{3})(-a/2)|}{a^2 \sqrt{5}/(2\sqrt{3})} = \dfrac{a^3/(2\sqrt{3})}{a^2 \sqrt{5}/(2\sqrt{3})} = \dfrac{a}{\sqrt{5}} = \dfrac{a \sqrt{5}}{5}$
Vậy khoảng cách cần tìm là:
$d = \dfrac{a \sqrt{5}}{5}$
Chọn C
Xác định được
Khi đó ta tính được
Trong mặt phẳng (ABC) lấy điểm D sao cho ABCD là hình chữ nhật => AB//(SCD) nên
Từ (1) và (2) suy ra
Xét tam giác vuông SAD có
Chọn hệ trục tọa độ:
$B(0,0,0),\ A(a,0,0),\ C(0,a,0)$ (tam giác vuông cân tại $B$)
Vì $SA \perp (ABC)$ nên đặt:
$S(a,0,h)$
Xét hai mặt phẳng $(ABC)$ và $(SBC)$
$(ABC)$ có pháp tuyến: $\vec{n_1} = (0,0,1)$Trong $(SBC)$:$\vec{SB} = (-a,0,-h),\ \vec{SC} = (-a,a,-h)$
$\vec{n_2} = \vec{SB} \times \vec{SC} = (ah,\ 0,\ -a^2)$
Góc giữa hai mặt phẳng:
$\cos 60^\circ = \dfrac{|\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}|}{|\vec{n_1}|,|\vec{n_2}|}$
Tính:
$\vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = a^2$
$|\vec{n_2}| = \sqrt{a^2h^2 + a^4} = a\sqrt{h^2 + a^2}$
Suy ra:
$\dfrac{1}{2} = \dfrac{a}{\sqrt{h^2 + a^2}}$
Giải ra:
$\dfrac{1}{4} = \dfrac{a^2}{h^2 + a^2} \Rightarrow h^2 + a^2 = 4a^2$
$\Rightarrow h^2 = 3a^2 \Rightarrow h = a\sqrt{3}$
Xét hai đường thẳng $AB$ và $SC$:
$\vec{AB} = (a,0,0),\ \vec{SC} = (-a,a,-a\sqrt{3})$
$\vec{AS} = (0,0,a\sqrt{3})$
Khoảng cách giữa hai đường chéo nhau:
$d = \dfrac{|[\vec{AS}, \vec{AB}, \vec{SC}]|}{|\vec{AB} \times \vec{SC}|}$
Tính:
$\vec{AB} \times \vec{SC} = (0,\ a^2\sqrt{3},\ a^2)$
$|\vec{AB} \times \vec{SC}| = a^2\sqrt{3 + 1} = 2a^2$
$[\vec{AS}, \vec{AB}, \vec{SC}] = a^3\sqrt{3}$
Suy ra:
$d = \dfrac{a^3\sqrt{3}}{2a^2} = \dfrac{a\sqrt{3}}{2}$
+ Ta có S A B ⊥ A B C S A C ⊥ A B C S A C ∩ S A B = S A ⇒ S A ⊥ A B C
+ Xác định điểm N, mặt phẳng qua SM và song song với BC cắt AC tại N ⇒ N là trung điểm của AC (MN//BC).
+ Xác định được góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) là S B A ^ = 60 °
⇒ SA = AB.tan 60 ° = 2a 3
AC = A B 2 + B C 2 = 2 a 2
+ Gọi IJ là đoạn vuông góc chung của AB và SN (điểm I thuộc AB và điểm J thuộc SN). Vậy khoảng cách giữa AB và SN là IJ. Ta sẽ biểu thị IJ → qua ba vectơ không cùng phương A B → ; A C → ; A S → .
I J → = I A → + A N → + N J → = m A B → + 1 2 A C → + p N S → = m A B → + 1 2 A C → + p N A → + A S → = m A B → + 1 − p 2 A C → + p A S →
Ta có: I J → ⊥ A B → I J → ⊥ N S → ⇔ I J → . A B → = 0 I J → . N S → = 0
Thay vào ta tính được m = -6/13; p = 1/13
Do đó: I J → = − 6 13 A B → + 6 13 A C → + 1 13 A S → . Suy ra
169 I J 2 = 36 A C 2 + 36 A B 2 + A S 2 − 72 A B → . A C → .
Thay số vào ta tính được IJ = 2 a 39 13 .
Vậy d(AB; SN) = 2 a 39 13 .
Đáp án D