Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Chọn đáp án D
+ Gọi H là trung điểm SB. Do tam giác SAB vuông tại A, SBC vuông tại C suy ta HA = HB = HS = HC
Suy ra H là tâm mặt cầu.
+ Gọi I là hình chiếu của H lên (ABC). Do HA = HB = HC , suy ra IA = IB = IC
Suy ra I là trung điểm AC. Gọi P là trung điểm BC, do tam giác ABC vuông cân, suy ra
Áp dụng hệ thức
\
Đặt hệ trục tọa độ:
$B(0,0,0), A(a\sqrt{3},0,0), C(0,a\sqrt{3},0)$
Vì $\angle SAB = 90^\circ$ và $\angle SCB = 90^\circ$ ⇒
$SA ⟂ AB$, $SC ⟂ BC$
Giả sử $S = (x,y,z)$
Điều kiện:
$\vec{SA} \cdot \vec{AB} = 0$ ⇒ $(x - a\sqrt{3}, y, z) \cdot (a\sqrt{3},0,0) = 0$
$\Rightarrow (x - a\sqrt{3}) a\sqrt{3} = 0 \Rightarrow x = a\sqrt{3}$
$\vec{SC} \cdot \vec{CB} = 0$ ⇒ $(x, y - a\sqrt{3}, z) \cdot (0,-a\sqrt{3},0) = 0$
$\Rightarrow (y - a\sqrt{3})(-a\sqrt{3}) = 0 \Rightarrow y = a\sqrt{3}$
⇒ $S = (a\sqrt{3}, a\sqrt{3}, z)$
Khoảng cách từ $A$ đến mặt phẳng $(SBC)$ bằng $a\sqrt{2}$
Vector:
$\vec{SB} = B - S = (-a\sqrt{3}, -a\sqrt{3}, -z)$
$\vec{SC} = C - S = (-a\sqrt{3}, 0, -z)$
Pháp tuyến:
$\vec{n} = \vec{SB} \times \vec{SC} = (a\sqrt{3} z, 0, -3a^2)$
$|\vec{n}| = \sqrt{3a^2 z^2 + 9a^4} = a \sqrt{3z^2 + 9a^2}$
$\vec{AS} = A - S = (0, -a\sqrt{3}, -z)$
Khoảng cách:
$d = \dfrac{| \vec{n} \cdot \vec{AS} |}{|\vec{n}|} = \dfrac{|0 + 0 + (-3a^2)(-z)|}{a \sqrt{3z^2 + 9a^2}} = \dfrac{3a^2 z}{a \sqrt{3z^2 + 9a^2}} = \dfrac{3a z}{\sqrt{3z^2 + 9a^2}}$
Theo đề:
$\dfrac{3a z}{\sqrt{3z^2 + 9a^2}} = a\sqrt{2}$
Bình phương:
$\dfrac{9 a^2 z^2}{3z^2 + 9a^2} = 2a^2$
$\Rightarrow 9z^2 = 2(3z^2 + 9a^2)$
$\Rightarrow 9z^2 = 6z^2 + 18a^2$
$\Rightarrow 3z^2 = 18a^2 \Rightarrow z^2 = 6a^2 \Rightarrow z = a\sqrt{6}$
⇒ $S = (a\sqrt{3}, a\sqrt{3}, a\sqrt{6})$
Bán kính mặt cầu ngoại tiếp là khoảng cách từ tâm $O$ đến các đỉnh.
Do tính đối xứng, tâm $O$ là trung điểm của đoạn nối hai điểm xa nhất, ở đây xét $SC$ và $AB$:
$R = \dfrac{\sqrt{SA^2 + BC^2}}{2}$
$SA^2 = (0)^2 + (a\sqrt{3})^2 + (a\sqrt{6})^2 = 3a^2 + 6a^2 = 9a^2$
⇒ $SA = 3a$
$BC = a\sqrt{3}$
$R = \dfrac{\sqrt{(3a)^2 + (a\sqrt{3})^2}}{2} = \dfrac{\sqrt{9a^2 + 3a^2}}{2} = \dfrac{\sqrt{12a^2}}{2} = \dfrac{2a\sqrt{3}}{2} = a\sqrt{3}$
Thể tích khối cầu:
$V = \dfrac{4}{3} \pi R^3 = \dfrac{4}{3} \pi (a\sqrt{3})^3 = \dfrac{4}{3} \pi \cdot 3\sqrt{3} a^3 = 4\pi a^3 \sqrt{3}$
Vậy thể tích khối cầu ngoại tiếp là:
$V = 4\pi a^3 \sqrt{3}$
a: BC vuông góc AM
BC vuông góc SA
=>BC vuông góc (SAM)
b: BC vuông góc (SAM)
=>BC vuông góc SM
=>(SM;(ABC))=90 độ
Đáy $ABC$ là tam giác vuông cân tại $A$ nên:
$AB = AC = a \Rightarrow BC = a\sqrt2$.
Diện tích đáy: $S_{ABC} = \dfrac{1}{2}AB \cdot AC = \dfrac{1}{2}a^2$.
Mặt bên $SAB$ là tam giác vuông cân tại $S$ nên:
$SA = SB$ và $AB = SA\sqrt2 \Rightarrow SA = SB = \dfrac{a}{\sqrt2}$.
Gọi $M$ là trung điểm $AB$ thì: $SM \perp AB$ và $SM = \dfrac{AB}{2} = \dfrac{a}{2}$.
Vì $(SAB)\perp(ABC)$ nên $SM \perp (ABC)$, do đó $SM$ là chiều cao của khối chóp.
Thể tích khối chóp: $V = \dfrac13 S_{ABC} \cdot SM = \dfrac13 \cdot \dfrac{a^2}{2} \cdot \dfrac{a}{2} = \dfrac{a^3}{12}$.
Vậy $V = \dfrac{a^3}{12}$.
Chọn đáp án A.
Tam giác SBC cân hay đều em nhỉ?
Vì tam giác SBC đều thì sẽ không khớp với dữ kiện \(V_{SABC}=\dfrac{a^3}{16}\)
Đáp án B
Vì tam giác SAB cân tại S nên hạ SH ⊥ AB => H là trung điểm của AB.
Vì 
Tam giác SAB vuông cân tại S nên SA = SB = a 2
