Đáp án A

Gọi M là trung điểm của AC. Tam giác ABC vuông tại B, do đó M là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Gọi O là trung điểm của AC, suy ra OM // SA. Mà

Đáy $ABC$ là tam giác vuông cân tại $B$ nên:

$AB = BC = a \Rightarrow AC = a\sqrt2$.

Do $SA \perp (ABC)$ nên $SA \perp AC$, suy ra tam giác $SAC$ vuông tại $A$.

Góc giữa $SC$ và mặt phẳng $(ABC)$ bằng $60^\circ$ nên:

$\tan 60^\circ = \dfrac{SA}{AC}$

$\sqrt3 = \dfrac{SA}{a\sqrt2}$

$\Rightarrow SA = a\sqrt6$.

Khi đó:

$SB^2 = SA^2 + AB^2 = 6a^2 + a^2 = 7a^2 \Rightarrow SB = a\sqrt7$.

$SC^2 = SA^2 + AC^2 = 6a^2 + 2a^2 = 8a^2 \Rightarrow SC = 2a\sqrt2$.

Xét tam giác $SBC$:

$BC = a,\ SB = a\sqrt7,\ SC = 2a\sqrt2$.

Ta có:

$SB^2 + BC^2 = 7a^2 + a^2 = 8a^2 = SC^2$

$\Rightarrow \triangle SBC$ vuông tại $B$.

Suy ra tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp là trung điểm của $SC$, bán kính:

$R = \dfrac{SC}{2} = a\sqrt2$.

Thể tích khối cầu là:

$V = \dfrac{4}{3}\pi R^3 = \dfrac{4}{3}\pi (a\sqrt2)^3 = \dfrac{4}{3}\pi \cdot 2\sqrt2 a^3 = \dfrac{8\sqrt2\pi a^3}{3}$.

Vậy $V = \dfrac{8\sqrt2\pi a^3}{3}$.

Chọn đáp án A.

Đáp án C

Gọi M là trung điểm của AC. Tam giác ABC vuông tại B, do đó M là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Gọi O là trung điểm của AC, suy ra OM//SA

=> OM là trục của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, 

=> OA = OB = OC

Mặt khác, tam giác SAC vuông tại A, do đó OA = OS = OC

Vậy O là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC có thể tích 

A là hình chiếu của S lên mặt phẳng (ABC), do đó góc 

Đáp án A

Gọi O là tâm của tam giác   A B C ⇒ S A ; A B C ^ = S A ; O A ^ = S A O ^ = 60 °

tam giác SAO vuông tại O, có  

tan S A O ^ = S O O A ⇒ S O = tan 60 ° . a 3 3 = a ⇒ S A = O A 2 + S O 2 = 2 a 3 3

bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp  là   R = S A 2 2. S O = 2 a 3

vậy thể tích cần tính là  V = 4 3 π R 3 = 4 3 π 2 a 3 3 = 32 π a 3 81

Đáy $ABC$ là tam giác vuông tại $B$ nên:

$AC^2 = AB^2 + BC^2 = a^2 + (2a)^2 = 5a^2 \Rightarrow AC = a\sqrt5$.

Do $SA \perp (ABC)$ nên tam giác $SAC$ vuông tại $A$, suy ra:

$SC^2 = SA^2 + AC^2 = (a\sqrt3)^2 + (a\sqrt5)^2 = 3a^2 + 5a^2 = 8a^2 \Rightarrow SC = 2a\sqrt2$.

Mặt khác: $SB^2 = SA^2 + AB^2 = 3a^2 + a^2 = 4a^2 \Rightarrow SB = 2a$.

Xét tam giác $SBC$:

$SB^2 + BC^2 = (2a)^2 + (2a)^2 = 4a^2 + 4a^2 = 8a^2 = SC^2$.

Suy ra $\triangle SBC$ vuông tại $B$, nên tâm mặt cầu ngoại tiếp là trung điểm của $SC$.

Bán kính: $R = \dfrac{SC}{2} = a\sqrt2$.

Diện tích mặt cầu:

$S_{mc} = 4\pi R^2 = 4\pi (a\sqrt2)^2 = 8\pi a^2$.

Vậy $S_{mc} = 8\pi a^2$.

Chọn đáp án C.

Đáp án A

Đáy $ABC$ là tam giác đều cạnh $1$ nên:

$OA = OB = OC = \dfrac{1}{\sqrt3}$ với $O$ là tâm đường tròn ngoại tiếp.

Tam giác $SAB$ cân tại $S$, $\widehat{ASB}=120^\circ$ nên:

$AB^2 = SA^2 + SB^2 - 2SA\cdot SB\cos120^\circ$.

Vì $SA = SB$ nên:

$1 = 2SA^2 - 2SA^2 \cdot \left(-\dfrac{1}{2}\right)= 2SA^2 + SA^2 = 3SA^2$

$\Rightarrow SA = \dfrac{1}{\sqrt3}$.

Gọi $M$ là trung điểm $AB$ thì:

$SM^2 = SA^2 - AM^2= \dfrac{1}{3} - \dfrac{1}{4}= \dfrac{1}{12}$

$\Rightarrow SM = \dfrac{1}{2\sqrt3}$.

Vì $(SAB) \perp (ABC)$ nên $SM \perp (ABC)$.

Mặt khác:$OM = \sqrt{OA^2 - AM^2}= \sqrt{\dfrac{1}{3} - \dfrac{1}{4}}= \dfrac{1}{2\sqrt3}$.

=> $SO^2 = SM^2 + OM^2 = \dfrac{1}{12} + \dfrac{1}{12}= \dfrac{1}{6}$

$\Rightarrow SO = \dfrac{1}{\sqrt6}$.

Tâm mặt cầu ngoại tiếp là trung điểm $I$ của $SO$ nên:

$R = \dfrac{SO}{2} = \dfrac{1}{2\sqrt6}$.

Thể tích khối cầu:

$V = \dfrac{4}{3}\pi R^3= \dfrac{4}{3}\pi \left(\dfrac{1}{2\sqrt6}\right)^3= \dfrac{4}{3}\pi \cdot \dfrac{1}{8} \cdot \dfrac{1}{6\sqrt6}= \dfrac{\pi}{36\sqrt6}= \dfrac{\pi\sqrt6}{216}$.

Vậy $V = \dfrac{\pi\sqrt6}{216}$.

Chọn đáp án A.

Đáy $ABC$ là tam giác đều cạnh $1$ nên:

$OA = OB = OC = \dfrac{1}{\sqrt3}$ với $O$ là tâm đường tròn ngoại tiếp.

Tam giác $SAB$ cân tại $S$, $\widehat{ASB}=120^\circ$ nên:

$AB^2 = SA^2 + SB^2 - 2SA\cdot SB\cos120^\circ$.

Vì $SA = SB$ nên:

$1 = 2SA^2 - 2SA^2 \cdot \left(-\dfrac{1}{2}\right)= 2SA^2 + SA^2 = 3SA^2$

$\Rightarrow SA = \dfrac{1}{\sqrt3}$.

Gọi $M$ là trung điểm $AB$ thì:

$SM^2 = SA^2 - AM^2= \dfrac{1}{3} - \dfrac{1}{4}= \dfrac{1}{12}$

$\Rightarrow SM = \dfrac{1}{2\sqrt3}$.

Vì $(SAB) \perp (ABC)$ nên $SM \perp (ABC)$.

Mặt khác: $OM = \sqrt{OA^2 - AM^2}= \sqrt{\dfrac{1}{3} - \dfrac{1}{4}}= \dfrac{1}{2\sqrt3}$.

Suy ra: $SO^2 = SM^2 + OM^2= \dfrac{1}{12} + \dfrac{1}{12}= \dfrac{1}{6}$

$\Rightarrow SO = \dfrac{1}{\sqrt6}$.

Tâm mặt cầu ngoại tiếp là trung điểm $I$ của $SO$ nên:

$R = \dfrac{SO}{2} = \dfrac{1}{2\sqrt6}$.

Thể tích khối cầu:

$V = \dfrac{4}{3}\pi R^3= \dfrac{4}{3}\pi \left(\dfrac{1}{2\sqrt6}\right)^3= \dfrac{4}{3}\pi \cdot \dfrac{1}{8} \cdot \dfrac{1}{6\sqrt6}= \dfrac{\pi\sqrt6}{216}$.

Vậy $V = \dfrac{\pi\sqrt6}{216}$.

Chọn đáp án A.

Đáy $ABC$ là tam giác đều cạnh $1$ nên tâm $O$ của đường tròn ngoại tiếp là $OA = OB = OC = \dfrac{1}{\sqrt3}$.

Tam giác $SAB$ cân tại $S$ với $\widehat{ACB}=120^\circ$ nên áp dụng định lý cosin:

$AB^2 = SA^2 + SB^2 - 2 SA \cdot SB \cos 120^\circ$.

Vì $SA = SB$ nên:

$1 = 2 SA^2 - 2 SA^2 \cdot \left(-\dfrac{1}{2}\right) = 3 SA^2 \Rightarrow SA = \dfrac{1}{\sqrt3}$.

Gọi $M$ là trung điểm $AB$:

$SM^2 = SA^2 - AM^2 = \dfrac{1}{3} - \dfrac{1}{4} = \dfrac{1}{12} \Rightarrow SM = \dfrac{1}{2\sqrt3}$.

Vì $(SAB)\perp(ABC)$ nên $SM \perp (ABC)$.

Mặt khác: $OM = \sqrt{OA^2 - AM^2} = \sqrt{\dfrac{1}{3} - \dfrac{1}{4}} = \dfrac{1}{2\sqrt3}$.

=> $SO^2 = SM^2 + OM^2 = \dfrac{1}{12} + \dfrac{1}{12} = \dfrac{1}{6} \Rightarrow SO = \dfrac{1}{\sqrt6}$.

Tâm mặt cầu ngoại tiếp là trung điểm $I$ của $SO$ nên:

$R = \dfrac{SO}{2} = \dfrac{1}{2\sqrt6}$.

Thể tích khối cầu:

$V = \dfrac{4}{3}\pi R^3 = \dfrac{4}{3}\pi \left(\dfrac{1}{2\sqrt6}\right)^3 = \dfrac{5 \cdot 15 \pi}{54}$.

Vậy $V = \dfrac{5 \cdot 15 \pi}{54}$.

Chọn đáp án C.