hoành độ giao điểm là nghiệm của pt

\(x^3+3x^2+mx+1=1\Leftrightarrow x\left(x^2+3x+m\right)=0\)

\(x=0;x^2+3x+m=0\)(*)

để (C) cắt y=1 tại 3 điểm phân biệt thì pt (*) có 2 nghiệm phân biệt khác 0

\(\Delta=3^2-4m>0\) và \(0+m.0+m\ne0\Leftrightarrow m\ne0\)

từ pt (*) ta suy ra đc hoành độ của D, E là nghiệm của (*)

ta tính \(y'=3x^2+6x+m\)

vì tiếp tuyến tại Dvà E vuông góc

suy ra \(y'\left(x_D\right).y'\left(x_E\right)=-1\)

giải pt đối chiếu với đk suy ra đc đk của m

hoành độ giao điểm là nghiệm của pt

\(x^3-3mx^2+3\left(2m-1\right)x+1=2mx-4m+3\Leftrightarrow x^3-3mx^2+4mx-3x-2+4m=0\Leftrightarrow x^3-3x-2-m\left(3x^2-4x+4\right)=0\)

giải hệ pt ta có \(C_m\) luôn đi qua điểm A là nghiệm của hệ pt sau

\(\begin{cases}3x^2-4x+4=0\\x^3-3x-2=0\end{cases}\)

ta đc điều phải cm

.

a: Xét tứ giác OBDC có

\(\widehat{OBD}+\widehat{OCD}=180^0\)

Do đó: OBDC là tứ giác nội tiếp

b: Xét ΔEBA và ΔECB có

\(\widehat{E}\) chung

\(\widehat{EAB}=\widehat{EBC}\)

Do đó: ΔEBA\(\sim\)ΔECB

Suy ra: EB/EC=EA/EB

hay \(EB^2=EC\cdot EA\)

\(\left(C_1\right)\) có dạng \(y=x^3-3x\)

Gọi điểm A(a;2) là điểm kẻ đc 3 tiếp tuyến đến C do đề bài yêu cầu tìm điểm thuộc đường thẳng y=2

ta tính \(y'=3x^2-3\)

gọi \(B\left(x_0;y_0\right)\) là tọa độ tiếp điểm 

phương trình tiếp tuyến tại điểm B có dạng 

\(y=y'\left(x_0\right)\left(x-x_0\right)+y_0\)

suy ra ta có \(y=\left(3x^2_0-3\right)\left(x-x_0\right)+x_0^3-3x_0\)

do tiếp tuyến đi qua điểm A suy ra tọa độ của A thỏa mãn pt tiếp tuyến ta có

\(2=\left(3x^2_0-3\right)\left(a-x_0\right)+x_0^3-3x_0\Leftrightarrow-\left(3x^2_0-3\right)\left(a-x_0\right)+x_0^3-3x_0-2=0\Leftrightarrow-3\left(x_0-1\right)\left(1+x_0\right)\left(a-x_0\right)+\left(1+x_0\right)^2\left(x_0-2\right)=0\)(*)

từ pt * suy ra đc 1 nghiệm \(x_0+1=0\Rightarrow x_0=-1\) hoặc\(-3\left(x_0-1\right)\left(a-x_0\right)+\left(1+x_0\right)\left(x_0-2\right)=0\)(**)

để qua A kẻ đc 3 tiếp tuyến thì pt (*) có 3 nghiệm phân biệt

suy ra pt (**) có 2 nghiệm phân biệt khác -1  

từ đó ta suy ra đc a để pt có 2 nghiệm phân biệt khác -1

suy ra đc tập hợ điểm A để thỏa mãn đk bài ra

a) Ta có: góc FAB + góc BAC = 90 độ
góc EAC + góc BAC = 90 độ
=> Góc FAB = góc EAC
AF=AC; AB=AE
=> Tam giác AFB = tam giác ACE
=> FB=EC

b) Lấy K sao cho M là trung điểm của AK thì ta có ACKB là hình bình hành nên góc ACB =180* - góc BAC. Ta cũng tính dc góc FAE= 180* - góc BAC ( tổng của BAC với 2 lần góc CAE, mà góc CAE=90* -góc BAC). Thêm với AC=AF , CK=AE (=AB) nên tam giác ACK = tam giác FAE nên AK=EF mà AK=2AM nên EF=2AM

c) Gọi H là giao của AM và EF. Tam giác ACK = tam giác FAE nên góc CAK = góc AFE, mà góc CAK phụ với góc MAF nên góc AFE cũng phụ góc MAF. Xét trong tam giác AHF có góc F và góc A phụ nhau nên tam giác AHF vuông tại H suy ra AM vuông góc với EF.

a = 18

Chọn đáp án B

Đặt hệ trục tọa độ: $A(0,0,0),\ B(a,0,0),\ D(0,a,0),\ C(a,a,0)$ và $S(0,0,a)$ vì $SA \perp (ABCD)$ và $SA = a$.

- Hình chiếu $H$ của $A$ lên $SB$:

$\vec{SB} = B - S = (a,0,-a)$, $\vec{SA} = A - S = (0,0,-a)$

Hình chiếu $H$: $\vec{SH} = t \vec{SB}$, $z_H = 0 \Rightarrow a - a t = 0 \Rightarrow t=1$

Vậy $H = S + \vec{SH} = S + \vec{SB} = (0,0,a) + (a,0,-a) = (a,0,0)$

- Hình chiếu $K$ của $A$ lên $SD$:

$\vec{SD} = D - S = (0,a,-a)$, $\vec{SK} = s \vec{SD}$, $z_K = 0 \Rightarrow a - a s = 0 \Rightarrow s = 1$

Vậy $K = S + \vec{SD} = (0,0,a) + (0,a,-a) = (0,a,0)$

- Mặt phẳng $(AHK)$ đi qua $A(0,0,0), H(a,0,0), K(0,a,0)$

Pháp tuyến: $\vec{n} = \vec{AH} \times \vec{AK} = (a,0,0) \times (0,a,0) = (0,0,a^2)$

- Vector $\vec{SD} = D - S = (0,a,-a)$

- Tang của góc giữa đường thẳng $SD$ và mặt phẳng $(AHK)$:

$\tan \theta = \dfrac{|\text{phần song song với mặt phẳng}|}{|\text{phần vuông góc với pháp tuyến}|} = \dfrac{|\text{phần vuông góc với pháp tuyến}|}{|\text{phần song song}|} ?$

Công thức chuẩn: với đường thẳng $\vec{v}$ và mặt phẳng pháp tuyến $\vec{n}$:

$\tan \theta = \dfrac{|\vec{v} \cdot \vec{n}|}{|\vec{v} \times \vec{n}|}$

Tính:

$\vec{v} \cdot \vec{n} = (0,a,-a) \cdot (0,0,a^2) = -a \cdot a^2 = -a^3$

$|\vec{v} \times \vec{n}| = |(0,a,-a) \times (0,0,a^2)| = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 0 & a & -a \\ 0 & 0 & a^2 \end{vmatrix} = (a^3,0,0) \Rightarrow |\vec{v} \times \vec{n}| = a^3$

Vậy: $\tan \theta = \dfrac{|-a^3|}{a^3} = 1$

Chọn C. $1$

Đáp án B

Ta có: B C ⊥ A B B C ⊥ S A ⇒ B C ⊥ M A  

Mặt khác A M ⊥ S B ⇒ A M ⊥ S B C ⇒ A N ⊥ S C , tương tự A N ⊥ S C  

Do đó S C ⊥ A M N , mặt khác ∆ S B C  vuông tại B suy ra  tan B S C ^ = B C S B = a S A 2 + A B 2 = 1 3

⇒ S B ; S C ^ = B S C ^ = 30 ° ⇒ S B ; A M N ^ = 60 ° .

sao suy ra được góc giữa SB; AMN = 60 ạ?