Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Bài giải
Gọi hệ trục Oxyz với A(0;0;0), B(a;0;0), C(a;a;0), D(0;a;0). Gọi S(p;q;h).
SA = SB = a:
p² + q² + h² = a²
(p - a)² + q² + h² = a² ⇒ p = a/2
SC = a√3:
a²/4 + (q - a)² + h² = 3a²
Từ SA: q² + h² = 3a²/4 ⇒ a²/4 + q² - 2aq + a² + h² = 3a²
2a² - 2aq = 3a² ⇒ q = -a/2 ⇒ h² = a²/2 ⇒ h = a√2/2
S(a/2; -a/2; a√2/2)
H(a/4; -a/4; a√2/4), K(3a/4; -a/4; a√2/4)
M(x; x; 0), 0 ≤ x ≤ a
N(a; t; 0) ∈ BC
HK = (a/2; 0; 0)
HM = (x - a/4; x + a/4; -a√2/4)
n = HK × HM = (0; a²√2/8; a/2(x + a/4))
Mặt phẳng (HKM): (a²√2/8)(y + a/4) + (a/2)(x + a/4)(z - a√2/4) = 0
Với N(a; t; 0): t = x ⇒ N(a; x; 0)
HK = a/2, MN = a - x
d = √[(x + a/4)² + a²/8]
S = (a/2 + a - x)/2 × d = (3a/2 - x)/2 × √[(x + a/4)² + a²/8]
Giải S'(x) = 0 ⇒ x = 5a/8
Kết luận: x = 5a/8 thì diện tích HKMN nhỏ nhất
Cho mình xin 1 tick với ạ
Chọn C
Phương pháp:
- Xác định góc giữa mặt phẳng (SBD) với (ABD) (góc giữa hai đường thẳng cùng vuông góc với giao tuyến)
- Tính khoảng cách dựa vào công thức tỉ số khoảng cách:
Cách giải
Đặt hệ trục tọa độ: Chọn $A(0,0,0),\ B(2a,0,0)$.
Gọi $D(x,h,0),\ C(x+a,h,0)$ (vì $DC = a$ và $AB \parallel DC$).
Điều kiện:
$AD = a \Rightarrow x^2 + h^2 = a^2$
$BC = a \Rightarrow (x-a)^2 + h^2 = a^2$
Lấy hiệu: $(x-a)^2 - x^2 = 0 \Rightarrow -2ax + a^2 = 0 \Rightarrow x = \dfrac{a}{2}$
Thay vào: $\left(\dfrac{a}{2}\right)^2 + h^2 = a^2 \Rightarrow h^2 = \dfrac{3a^2}{4} \Rightarrow h = \dfrac{a\sqrt{3}}{2}$
Suy ra: $D\left(\dfrac{a}{2},\dfrac{a\sqrt{3}}{2},0\right),\ C\left(\dfrac{3a}{2},\dfrac{a\sqrt{3}}{2},0\right)$.
Vì $SA \perp (ABCD)$ nên đặt $S(0,0,h)$.
Xét mặt phẳng $(SBD)$: $\vec{SB} = (2a,0,-h),\ \vec{SD} = \left(\dfrac{a}{2},\dfrac{a\sqrt{3}}{2},-h\right)$.
Vectơ pháp tuyến:
$\vec{n} = \vec{SB} \times \vec{SD} = \left(\dfrac{a h\sqrt{3}}{2},\ \dfrac{3ah}{2},\ a^2\sqrt{3}\right)$.
Góc giữa $(SBD)$ và đáy là $45^\circ$:
$\sin 45^\circ = \dfrac{|\text{hệ số }z|}{|\vec{n}|} = \dfrac{a^2\sqrt{3}}{\sqrt{\dfrac{3a^2h^2}{4} + \dfrac{9a^2h^2}{4} + 3a^4}}$
Rút gọn:
$\dfrac{1}{\sqrt{2}} = \dfrac{a^2\sqrt{3}}{\sqrt{3a^2h^2 + 3a^4}} = \dfrac{a\sqrt{3}}{\sqrt{3h^2 + 3a^2}}$
⇒ $\dfrac{1}{\sqrt{2}} = \dfrac{a}{\sqrt{h^2 + a^2}}$
⇒ $h^2 + a^2 = 2a^2 \Rightarrow h^2 = a^2 \Rightarrow h = a$
⇒ $S(0,0,a)$.
Trung điểm $I$ của $AB$: $I(a,0,0)$.
Khoảng cách từ $I$ đến $(SBD)$: $\vec{SI} = (a,0,-a)$
$d = \dfrac{|\vec{n} \cdot \vec{SI}|}{|\vec{n}|}$
Tính: $\vec{n} \cdot \vec{SI} = \dfrac{a h\sqrt{3}}{2} \cdot a + 0 + a^2\sqrt{3} \cdot (-a) = \dfrac{a^2h\sqrt{3}}{2} - a^3\sqrt{3}$
Thay $h = a$:
$= \dfrac{a^3\sqrt{3}}{2} - a^3\sqrt{3} = -\dfrac{a^3\sqrt{3}}{2}$
⇒ giá trị tuyệt đối: $\dfrac{a^3\sqrt{3}}{2}$
$|\vec{n}| = \sqrt{3a^2h^2 + 3a^4} = a^2\sqrt{6}$
Suy ra: $d = \dfrac{\dfrac{a^3\sqrt{3}}{2}}{a^2\sqrt{6}} = \dfrac{a}{2\sqrt{2}} = \dfrac{a\sqrt{2}}{4}$
Vậy $\dfrac{a\sqrt{2}}{4}$