Chọn đáp án D

Gọi O là tâm của hình chữ nhật ABCD và I là trung điểm của SC. Khi đó OI  ⊥ (ABCD)

⇒ IA = IB = IC = ID với ∆ S A C  vuông tại A, IA = IS = IC. Do đó I là tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S.ABCD suy ra IA = a 2 ⇒ SC = 2a 2 . Mặt khác AC là hình chiếu của SC trên mặt phẳng (ABCD).

Suy ra ∆ S A C  vuông cân

Đặt hệ trục tọa độ:

$A(0,0,0), B(a,0,0), D(0,b,0), C(a,b,0)$, với $b$ chưa biết.

Cạnh bên $SA$ vuông góc với mặt phẳng đáy, giả sử $S(0,0,h)$.

Góc giữa $SC$ và mặt phẳng đáy $(ABCD)$ là $45^\circ$, nên:

$\tan 45^\circ = \dfrac{SA}{\sqrt{AB^2 + AD^2}} = \dfrac{h}{\sqrt{a^2 + b^2}} = 1 \Rightarrow h = \sqrt{a^2 + b^2}$

Bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp: $R = \dfrac{\sqrt{SA^2 + AC^2}}{2}$, với $AC = \sqrt{AB^2 + AD^2} = \sqrt{a^2 + b^2}$

Vì $R = a\sqrt{2} \Rightarrow \dfrac{\sqrt{h^2 + (a^2 + b^2)}}{2} = a \sqrt{2} \Rightarrow \sqrt{h^2 + (a^2 + b^2)} = 2 a \sqrt{2}$

Thay $h^2 = a^2 + b^2 \Rightarrow \sqrt{a^2 + b^2 + a^2 + b^2} = \sqrt{2(a^2 + b^2)} = 2 a \sqrt{2} \Rightarrow a^2 + b^2 = 4 a^2 \Rightarrow b^2 = 3 a^2 \Rightarrow b = a \sqrt{3}$

Diện tích đáy: $S_{ABCD} = AB \cdot AD = a \cdot b = a \cdot a \sqrt{3} = a^2 \sqrt{3}$

Chiều cao $SA = h = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{a^2 + 3 a^2} = \sqrt{4 a^2} = 2 a$

Thể tích khối chóp:

$V = \dfrac{1}{3} S_{ABCD} \cdot SA = \dfrac{1}{3} \cdot a^2 \sqrt{3} \cdot 2 a = \dfrac{2 a^3 \sqrt{3}}{3}$

a)

Ta có $SO \perp (ABCD)$ nên: $SO \perp AD$ và $SO \perp AB$.

Mà $AB \perp AD$ nên: $BC \parallel AD \Rightarrow BC \perp AB$.

Gọi $M$ là trung điểm của $BC$ nên: $OM \parallel AB$.

Suy ra: $OM \perp AD$.

Xét hai đường thẳng trong mặt phẳng $(SAD)$:
$AD,\ SA$.

Ta có: $SM$ đi qua $S$ và $M$.

Xét tam giác $SOM$:
$SO \perp OM$ nên $\triangle SOM$ vuông tại $O$.

Mặt khác: $OM \parallel AB \Rightarrow OM \perp AD$.

Suy ra: $SM \perp AD$.

Ta lại có:
$SO \perp AD$ và $SM$ nằm trong mặt phẳng $(SOM)$ nên: $SM \perp SA$.

Vậy:
$SM \perp AD$ và $SM \perp SA$

$\Rightarrow SM \perp (SAD)$.

b)

Gọi $\varphi$ là góc giữa $SC$ và mặt phẳng $(SAD)$.

Khi đó: $\sin \varphi = \dfrac{d(C,(SAD))}{SC}$.

Tính các độ dài:

Ta có: $AB = a,\ AD = 2a \Rightarrow AC = \sqrt{a^2 + (2a)^2} = a\sqrt{5}$.

$OC = \dfrac{AC}{2} = \dfrac{a\sqrt{5}}{2}$.

Trong tam giác vuông $SOC$: $SO = \dfrac{a}{2}$.

$SC^2 = SO^2 + OC^2 = \dfrac{a^2}{4} + \dfrac{5a^2}{4} = \dfrac{6a^2}{4}$

$\Rightarrow SC = \dfrac{a\sqrt{6}}{2}$.

Tính khoảng cách từ $C$ đến $(SAD)$:

Do $(SAD)$ chứa $AD$ và $SO$ nên là mặt phẳng vuông góc đáy theo phương $AD$.

Suy ra khoảng cách từ $C$ đến $(SAD)$ chính là khoảng cách từ $C$ đến đường $AD$ trong đáy.

Mà hình chữ nhật nên: $d(C,AD) = AB = a$.

Do đó: $\sin \varphi = \dfrac{a}{\dfrac{a\sqrt{6}}{2}} = \dfrac{2}{\sqrt{6}} = \dfrac{\sqrt{6}}{3}$.

3+? =2 trả lời đc thì giải đc

a có \(\angle \left(\right. S C , \left(\right. A B C D \left.\right) \left.\right) = 45^{\circ}\).

Nghĩa là hình chiếu của \(S\) xuống đáy nằm trên đường chéo \(B D\).

Xét tam giác cân \(S A B\), do tính đối xứng ⇒ khoảng cách từ \(A\) đến \(\left(\right. S C D \left.\right)\) chính bằng nửa cạnh hình vuông:

\(d\left(\right.A,\left(\right.SCD\left.\right)\left.\right)=\frac{a}{2}\)

Với \(M\) là trung điểm \(S A\), khoảng cách giảm đi một nửa:

\(d\left(\right.M,\left(\right.SCD\left.\right)\left.\right)=\frac{a}{4}\)

Đáp số

\(d \left(\right. A , \left(\right. S C D \left.\right) \left.\right) = \frac{a}{2}\)

\(d \left(\right. M , \left(\right. S C D \left.\right) \left.\right) = \frac{a}{4}\)

Viết lại đề đi.