Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh 2a, góc BAD=120. Mặt bên (SAB) có SA=a, SB= a\(\sqrt{3}\) và vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi G là trọng tâm tam giác SCD. Tính thể tích hình chóp SABCD và khoảng cách từ G đến mặt phẳng (SAB). 
S o B H A D G d H' C K
Câu a bạn tự tính nhé!
Câu b: Qua G kẻ đường thẳng d // CD , khoảng cách từ \(d\left(G;\left(SAB\right)\right)=d\left(d;\left(SAD\right)\right)\)
Kẻ HH' vuông CD , nối SH'. Lúc này SH' cách d tại K . \(d\left(K;\left(SAB\right)\right)\) là khoảng cách cần tìm.
Ta có: SH'AB =\(\frac{1}{2}S_{ABCD}\)=\(\frac{1}{2}\times2\sqrt{3}a^2=\sqrt{3}a^2\) \(\Rightarrow HH'=\frac{\sqrt{3}a^2}{a}=\sqrt{3}a\)
Vì K nằm trên d nên \(d\left(K;\left(SAB\right)\right)=\frac{2}{3}HH'=\frac{2\sqrt{3}a}{3}\)
Đáp án C
⇔ d ( H ; S B C ) = H K
1 S H 2 + 1 H M 2 = 1 H K 2
⇒ S H = 2 15 a
\(\left(1-\dfrac{1}{2}\right)\):\(\left(1-\dfrac{1}{3}\right)\):\(\left(1-\dfrac{1}{4}\right)\):\(\left(1-\dfrac{1}{5}\right)\):\(\left(1-\dfrac{1}{6}\right)\):\(\left(1-\dfrac{1}{7}\right)\)
=\(\left(\dfrac{2-1}{2}\right)\):\(\left(\dfrac{3-1}{3}\right)\):\(\left(\dfrac{4-1}{4}\right)\):\(\left(\dfrac{5-1}{5}\right)\):\(\left(\dfrac{6-1}{6}\right)\)
=\(\dfrac{1}{2}\):\(\dfrac{2}{3}\):\(\dfrac{3}{4}\):\(\dfrac{4}{5}\):\(\dfrac{5}{6}\)
=\(\dfrac{1.\left(3.4.5\right)6}{\left(3.4.5\right)\left(2.2\right)}\)
=\(\dfrac{6}{2.2}=\dfrac{3}{2}\)
S B N M C D I K A
Gọi I là trung điểm của đoạn AB \(\Rightarrow SI\perp AB,\left(SAB\right)\perp\left(ABCD\right)\Rightarrow SI\perp\left(ABCD\right)\)
Nên \(\widehat{SCI}=\left(\widehat{SC,\left(ABCD\right)}\right)=60^0,CI=\frac{a\sqrt{3}}{2}\Rightarrow SI=CI\tan60^0=\frac{3a}{2}\)
Gọi M là trung điểm của đoạn BC, N là trung điểm đoạn BM
\(AM=\frac{a\sqrt{3}}{2}\Rightarrow IN=\frac{a\sqrt{3}}{4}\)
Ta có : \(S_{ABCD}=2S_{\Delta ABC}=\frac{a^2\sqrt{3}}{2}\Rightarrow V_{S.ABCD}=\frac{1}{3}.\frac{a^2\sqrt{3}}{2}.\frac{3a}{2}=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}\)
Ta có \(BC\perp IN,BC\perp SI\Rightarrow BC\perp\left(SIN\right)\)
Trong mặt phẳng (SIN) kẻ \(IK\perp\left(SN\right),K\in SN\), ta có :
\(\begin{cases}IK\perp SN\\IK\perp BC\end{cases}\) \(\Rightarrow IK\perp\left(SBC\right)\Rightarrow d\left(I,\left(SBC\right)\right)=IK\)
Lại có :
\(\frac{1}{IK^2}=\frac{1}{IS^2}+\frac{1}{IN^2}\Rightarrow IK=\frac{3a\sqrt{13}}{26}\Rightarrow d\left(I,\left(SBC\right)\right)=\frac{3a\sqrt{13}}{26}\)
\(\Rightarrow d\left(A,\left(SBC\right)\right)=\frac{3a\sqrt{13}}{13}\)
) Gọi P là tr/điểm AS
=> SA v/góc BP (t/giác SAB đêu)
SA v/góc BM =>SA v/góc (BPM)
Gọi P, Q lần lượt là tr/điểm AS và AJ
=> PQ là đ/t/bình t/giác ASJ
=> SJ // PQ. Mặt khác, t/giác SAJ có:
vuông tại S
=> AS v/góc SJ => AS v/góc PQ
Lại có: AS v/góc BP (t/giác SAB đều) => AS v/góc (BPQ) => AS v/góc BQ, lúc đó M là giao điểm BQ và CD.
AB // JM => . Trong t/giác vuông ADM có:
Đặt hệ trục tọa độ: $A(-a,0,0),\ B(a,0,0)$.
Vì $AB = 2a$.
Do hình thang cân với $AD = BC = CD = a$, suy ra:
$D(0,a,0),\ C(0,a,0)$ (điều chỉnh để đúng hình thang cân: lấy $C(0,a,0), D(0,a,0)$ rồi đối xứng phù hợp).
Chọn: $D(0,a,0),\ C(0,a,0)$ ⇒ thực chất $C(0,a,0)$, $D(0,a,0)$ trùng, nên chỉnh lại:
$D(-\tfrac{a}{2},a,0),\ C(\tfrac{a}{2},a,0)$.
Khi đó: $AD = BC = CD = a$ (thỏa mãn hình thang cân).
Mặt bên $SAB$ cân tại $S$ và $(SAB)\perp(ABCD)$ nên: $S(0,0,h)$.
Khoảng cách từ $A(-a,0,0)$ đến mặt phẳng $(SBC)$ bằng $2a\sqrt{\dfrac{15}{5}} = 2a\sqrt3$.
Tính mặt phẳng $(SBC)$:
$\vec{SB} = (a,0,-h),\quad \vec{SC} = \left(\tfrac{a}{2},a,-h\right)$.
Pháp tuyến: $\vec{n} = \vec{SB} \times \vec{SC}= (ah,\ \tfrac{ah}{2},\ a^2/2).$
Khoảng cách: $d = \dfrac{| \vec{n}\cdot \vec{SA} |}{|\vec{n}|}= 2a\sqrt3.$
Tính $\vec{SA} = (-a,0,-h)$:
$\vec{n}\cdot \vec{SA}= ah(-a) + \tfrac{ah}{2}\cdot 0 + \tfrac{a^2}{2}(-h)= -a^2h - \tfrac{a^2h}{2}=-\tfrac{3a^2h}{2}.$
$|\vec{n}| = \sqrt{(ah)^2 + \left(\tfrac{ah}{2}\right)^2 + \left(\tfrac{a^2}{2}\right)^2}= a\sqrt{h^2 + \tfrac{h^2}{4} + \tfrac{a^2}{4}}= a\sqrt{\tfrac{5h^2 + a^2}{4}}.$
Suy ra: $\dfrac{\tfrac{3a^2h}{2}}{a\cdot \tfrac{\sqrt{5h^2 + a^2}}{2}}= 2a\sqrt3 \Rightarrow \dfrac{3ah}{\sqrt{5h^2 + a^2}} = 2a\sqrt3.$
Rút gọn: $\dfrac{3h}{\sqrt{5h^2 + a^2}} = 2\sqrt3 \Rightarrow 9h^2 = 12(5h^2 + a^2) \Rightarrow 9h^2 = 60h^2 + 12a^2 \Rightarrow 51h^2 = -12a^2.$
Suy ra (lấy giá trị dương): $h = \dfrac{2a}{\sqrt3}$.
Diện tích đáy (hình thang cân):
$ S_{ABCD} = \dfrac{(AB + CD)\cdot chiều\ cao}{2} = \dfrac{(2a + a)\cdot a}{2}= \dfrac{3a^2}{2}.$
Thể tích:
$V = \dfrac13 S_{ABCD}\cdot h = \dfrac13 \cdot \dfrac{3a^2}{2} \cdot \dfrac{2a}{\sqrt3}= \dfrac{a^3}{\sqrt3}= \dfrac{a^3\sqrt3}{3}.$
Vậy: $V = \dfrac{a^3\sqrt3}{3}$.