Đáp án C.

Tam giác $ABC$ vuông tại $B$ nên:

$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{a^2+3a^2}=2a$.

Đặt hệ trục tọa độ:

$B(0,0,0),\ A(a,0,0),\ C(0,a\sqrt3,0)$.

Vì $SA\perp(ABC)$ và $SA=2a$ nên:

$S(a,0,2a)$.

Gọi $O(x,y,z)$ là tâm mặt cầu ngoại tiếp.

Từ $OA=OB$:

$(x-a)^2+y^2+z^2=x^2+y^2+z^2$

$\Rightarrow x=\dfrac a2$.

Từ $OB=OC$:

$x^2+(y-a\sqrt3)^2+z^2=x^2+y^2+z^2$

$\Rightarrow y=\dfrac{a\sqrt3}{2}$.

Từ $OA=OS$:

$(z)^2=(z-2a)^2$

$\Rightarrow z=a$.

Vậy:

$O\left(\dfrac a2,\dfrac{a\sqrt3}{2},a\right)$.

Bán kính mặt cầu:

$R=OA=\sqrt{\left(\dfrac a2\right)^2+\left(\dfrac{a\sqrt3}{2}\right)^2+a^2}$

$=\sqrt{\dfrac{a^2}{4}+\dfrac{3a^2}{4}+a^2}=\sqrt{2a^2}=a\sqrt2$.

Vậy:

$\boxed{R=a\sqrt2}$.

Chọn đáp án C

Tam giác $ABC$ vuông tại $B$ nên:

$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{a^2+3a^2}=2a$.

Đặt hệ trục tọa độ:

$B(0,0,0),\ A(a,0,0),\ C(0,a\sqrt3,0)$.

Vì $SA\perp(ABC)$ và $SA=2a$ nên:

$S(a,0,2a)$.

Gọi $O(x,y,z)$ là tâm mặt cầu ngoại tiếp.

Từ $OA=OB$:

$(x-a)^2+y^2+z^2=x^2+y^2+z^2 \Rightarrow x=\dfrac a2$.

Từ $OB=OC$:

$x^2+(y-a\sqrt3)^2+z^2=x^2+y^2+z^2 \Rightarrow y=\dfrac{a\sqrt3}{2}$.

Từ $OA=OS$:

$z^2=(z-2a)^2 \Rightarrow z=a$.

Vậy:

$O\left(\dfrac a2,\dfrac{a\sqrt3}{2},a\right)$.

Bán kính mặt cầu:

$R=OA=\sqrt{\left(\dfrac a2\right)^2+\left(\dfrac{a\sqrt3}{2}\right)^2+a^2}$

$=\sqrt{\dfrac{a^2}{4}+\dfrac{3a^2}{4}+a^2}=\sqrt{2a^2}=a\sqrt2$.

Vậy:

$\boxed{R=a\sqrt2}$.

Dựng tam giác đều IAB (I và C cùng phía bờ AB). Ta có ∠ I B C = 120 ° - 60 ° = 60 ° và IB=BC nên DIBC đều, IA=IB=IC=a

Qua I dựng đường thẳng song song với SA, cắt đường trung trực của SA tại O thì O là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.

Gọi M là trung điểm của SA.

Chọn hệ trục tọa độ:

$B(0,0,0),\ A(a,0,0)$

Vì $\widehat{ABC} = 120^\circ,\ BC = a$ nên:

$C\left(a\cos120^\circ,\ a\sin120^\circ,\ 0\right) = \left(-\dfrac{a}{2},\ \dfrac{a\sqrt{3}}{2},\ 0\right)$

Vì $SA \perp (ABC),\ SA = 2a$ nên đặt:

$S(a,0,2a)$

Gọi $O(x,y,z)$ là tâm mặt cầu ngoại tiếp

Do $OA = OB = OC = OS$

Từ $OA = OB$:

$(x-a)^2 + y^2 + z^2 = x^2 + y^2 + z^2 \Rightarrow x = \dfrac{a}{2}$

Từ $OB = OC$:

$x^2 + y^2 + z^2 = \left(x + \dfrac{a}{2}\right)^2 + \left(y - \dfrac{a\sqrt{3}}{2}\right)^2 + z^2$

Thay $x = \dfrac{a}{2}$ ⇒ $y = \dfrac{a}{2\sqrt{3}}$

Từ $OA = OS$:

$(x-a)^2 + y^2 + z^2 = (x-a)^2 + y^2 + (z-2a)^2$

$\Rightarrow z = a$

Suy ra:

$O\left(\dfrac{a}{2},\ \dfrac{a}{2\sqrt{3}},\ a\right)$

Bán kính:

$R^2 = OA^2 = \left(-\dfrac{a}{2}\right)^2 + \left(\dfrac{a}{2\sqrt{3}}\right)^2 + a^2$

$= \dfrac{a^2}{4} + \dfrac{a^2}{12} + a^2 = \dfrac{4a^2}{3}$

Suy ra:

$R = \dfrac{2a}{\sqrt{3}} = \dfrac{2a\sqrt{3}}{3}$

Chọn D

Đáy $ABC$ là tam giác vuông cân tại $A$ nên:

$AB = AC = a \Rightarrow BC = a\sqrt2$.

Do $SA \perp (ABC)$ nên tam giác $SBC$ vuông tại $A$, suy ra:

$SC^2 = SA^2 + AC^2 = (2a)^2 + a^2 = 5a^2 \Rightarrow SC = a\sqrt5$.

Mặt khác: $SB^2 = SA^2 + AB^2 = 4a^2 + a^2 = 5a^2 \Rightarrow SB = a\sqrt5$.

Xét tam giác $SBC$:

$SB^2 + BC^2 = 5a^2 + 2a^2 = 7a^2 \ne SC^2$.

Xét tam giác $SAB$:

$SA \perp AB \Rightarrow \triangle SAB$ vuông tại $A$.

Xét tam giác $SAC$:

$SA \perp AC \Rightarrow \triangle SAC$ vuông tại $A$.

Do đó $A$ cách đều $S,B,C$ nên $A$ là tâm mặt cầu ngoại tiếp.

Bán kính: $R = SA = 2a$.

Vậy $R = 2a$.

Chọn đáp án B.

Gọi O, I lần lượt là trung điểm của AC, SC.

Ta có:

∆ A B C  vuông cân tại B ⇒  O là tâm đường tròn ngoại tiếp và A C = A B 2 = a 2 .

∆ S A C  vuông tại A, I là trung điểm của S C ⇒ I S = I C = I A 2  

Từ (1), (2) suy ra I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC, bán kính

Chọn: A

Đáp án đúng : B

Tam giác $ABC$ vuông cân tại $A$ và: $BC=3a$.

Suy ra:

$AB=AC=\dfrac{BC}{\sqrt2}=\dfrac{3a\sqrt2}{2}$.

Đặt hệ trục tọa độ:

$A(0,0,0),\ B\left(\dfrac{3a\sqrt2}{2},0,0\right),\ C\left(0,\dfrac{3a\sqrt2}{2},0\right)$.

Vì $SA\perp(ABC)$ và $SA=2a$ nên:

$S(0,0,2a)$.

Gọi $O(x,y,z)$ là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.

Do $OA=OB$ nên:

$x=\dfrac{3a\sqrt2}{4}$.

Do $OA=OC$ nên $y=\dfrac{3a\sqrt2}{4}$.

Do $OA=OS$ nên $z=a$.

Vậy: $O\left(\dfrac{3a\sqrt2}{4},\dfrac{3a\sqrt2}{4},a\right)$.

Bán kính mặt cầu:

$R=OA$

$=\sqrt{\left(\dfrac{3a\sqrt2}{4}\right)^2+\left(\dfrac{3a\sqrt2}{4}\right)^2+a^2}$

$=\sqrt{\dfrac{9a^2}{8}+\dfrac{9a^2}{8}+a^2}$

$=\sqrt{\dfrac{13a^2}{4}}$

$=\dfrac{a\sqrt{13}}{2}$.

Vậy: $\boxed{R=\dfrac{a\sqrt{13}}{2}}$.

Đáp án là D

Tam giác $ABC$ vuông tại $B$ và:

$AB=BC=a$.

Suy ra:

$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=a\sqrt2$.

Đặt hệ trục tọa độ:

$A(a,0,0),\ B(0,0,0),\ C(0,a,0)$.

Vì $SA\perp(ABC)$ và $SA=2a$ nên:

$S(a,0,2a)$.

Gọi $O(x,y,z)$ là tâm mặt cầu ngoại tiếp.

Từ $OA=OB$:

$(x-a)^2+y^2+z^2=x^2+y^2+z^2$

$\Rightarrow x=\dfrac a2$.

Từ $OB=OC$:

$x^2+(y-a)^2+z^2=x^2+y^2+z^2$

$\Rightarrow y=\dfrac a2$.

Từ $OA=OS$:

$(z)^2=(z-2a)^2$

$\Rightarrow z=a$.

Vậy:

$O\left(\dfrac a2,\dfrac a2,a\right)$.

Bán kính mặt cầu:

$R=OA=\sqrt{\left(\dfrac a2\right)^2+\left(\dfrac a2\right)^2+a^2}$

$=\sqrt{\dfrac{a^2}{4}+\dfrac{a^2}{4}+a^2}=\sqrt{\dfrac{3a^2}{2}}=\dfrac{a\sqrt6}{2}$.

Vậy:

$\boxed{R=\dfrac{a\sqrt6}{2}}$.

Chọn đáp án D.

Chọn đáp án C

Vậy hai điểm cùng nhìn cạnh dưới một góc vuông. Điều đó chứng tỏ SC là đường kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp. Do đó bán kính

Tam giác $ABC$ vuông tại $B$ nên:

$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5$.

Đặt hệ trục tọa độ:

$B(0,0,0),\ A(3,0,0),\ C(0,4,0)$.

Vì $SA\perp(ABC)$ và $SA=5$ nên:

$S(3,0,5)$.

Gọi $O(x,y,z)$ là tâm mặt cầu ngoại tiếp.

Từ $OA=OB$:

$(x-3)^2+y^2+z^2=x^2+y^2+z^2 \Rightarrow x=\dfrac32$.

Từ $OB=OC$:

$x^2+(y-4)^2+z^2=x^2+y^2+z^2 \Rightarrow y=2$.

Từ $OA=OS$:

$z^2=(z-5)^2 \Rightarrow z=\dfrac52$.

Vậy:

$O\left(\dfrac32,2,\dfrac52\right)$.

Bán kính mặt cầu:

$R=OA=\sqrt{\left(\dfrac32\right)^2+2^2+\left(\dfrac52\right)^2}$

$=\sqrt{\dfrac94+4+\dfrac{25}{4}}=\sqrt{\dfrac{50}{4}}=\dfrac{5\sqrt2}{2}$.

Vậy:

$\boxed{R=\dfrac{5\sqrt2}{2}}$.

Đáy $ABC$ là tam giác vuông tại $B$ nên:

$AC^2 = AB^2 + BC^2 = a^2 + (a\sqrt3)^2 = a^2 + 3a^2 = 4a^2 \Rightarrow AC = 2a$.

Do $SA \perp (ABC)$ nên tam giác $SAC$ vuông tại $A$, suy ra:

$SC^2 = SA^2 + AC^2 = (2a\sqrt3)^2 + (2a)^2 = 12a^2 + 4a^2 = 16a^2 \Rightarrow SC = 4a$.

Xét tam giác $SBC$: $SB^2 = SA^2 + AB^2 = 12a^2 + a^2 = 13a^2$,

$BC = a\sqrt3 \Rightarrow BC^2 = 3a^2$.

Ta có: $SB^2 + BC^2 = 13a^2 + 3a^2 = 16a^2 = SC^2$.

Suy ra $\triangle SBC$ vuông tại $B$, nên tâm mặt cầu ngoại tiếp là trung điểm của $SC$.

Bán kính: $R = \dfrac{SC}{2} = \dfrac{4a}{2} = 2a$.

Vậy $R = 2a$.

Chọn đáp án D.