Đáp án D

Chọn đáp án D.

Đặt hệ trục tọa độ:

$A(0,0,0),\ B(a,0,0),\ D(0,3a,0)$.

Trung điểm $H$ của $AB$ là hình chiếu của $S$ lên đáy:

$H\left(\dfrac{a}{2},0,0\right) \implies S\left(\dfrac{a}{2},0,h\right)$.

Đường chéo $BD$:

$BD^2 = (a-0)^2 + (0-3a)^2 = a^2 + 9a^2 = 10 a^2$.

Góc giữa mặt phẳng $(SBD)$ và đáy là $60^\circ$, do đó:

$\sin 60^\circ = \dfrac{SH}{\sqrt{\left(\dfrac{a}{2}\right)^2 + (3a)^2 + h^2}} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$.

Giải ra:

$\dfrac{3}{4} = \dfrac{h^2}{\dfrac{37 a^2}{4} + h^2} \implies 3\left(\dfrac{37 a^2}{4} + h^2\right) = 4 h^2 \implies h^2 = \dfrac{111 a^2}{4} \implies h = \dfrac{\sqrt{111}}{2} a$.

Diện tích đáy $ABCD$ (hình thang vuông tại $A$ và $B$):

$S_{ABCD} = \dfrac{(AD + BC) \cdot \text{chiều cao}}{2} = \dfrac{(3a + 2a) \cdot 3a}{2} = \dfrac{15 a^2}{2}$.

Thể tích khối chóp:

$V = \dfrac{1}{3} S_{ABCD} \cdot SH = \dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{15 a^2}{2} \cdot \dfrac{\sqrt{111}}{2} a = \dfrac{15 \sqrt{111}}{12} a^3 = \dfrac{5 \sqrt{111}}{4} a^3$.

$V = \dfrac{5 \sqrt{111}}{4} a^3$

Đặt hệ trục tọa độ:

$A(0,0,0),\ B(a,0,0),\ D(0,b,0)$.

Trung điểm $H$ của $AB$ là hình chiếu của $S$ lên đáy:

$H\left(\dfrac{a}{2},0,0\right) \implies S\left(\dfrac{a}{2},0,h\right)$.

Đường chéo $BD$:

$BD^2 = (B_x - D_x)^2 + (B_y - D_y)^2 = a^2 + b^2 = 10 a^2 \implies b^2 = 9 a^2 \implies b = 3a$.

Góc giữa mặt phẳng $(SBD)$ và đáy là $60^\circ$, do đó:

$\sin 60^\circ = \dfrac{SH}{\sqrt{SD_x^2 + SD_y^2 + h^2}} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$

với $SD_x^2 + SD_y^2 = \left(\dfrac{a}{2} - 0\right)^2 + (0 - 3a)^2 = \dfrac{a^2}{4} + 9 a^2 = \dfrac{37 a^2}{4}$.

Giải ra $h$:

$\dfrac{\sqrt{3}}{2} = \dfrac{h}{\sqrt{\dfrac{37 a^2}{4} + h^2}} \implies \dfrac{3}{4} = \dfrac{h^2}{\dfrac{37 a^2}{4} + h^2} \implies 3\left(\dfrac{37 a^2}{4} + h^2\right) = 4 h^2 \implies h^2 = \dfrac{111 a^2}{4} \implies h = \dfrac{\sqrt{111}}{2} a$.

Diện tích đáy $ABCD$ (hình thang vuông tại $A$ và $B$):

$S_{ABCD} = \dfrac{(AD + BC) \cdot \text{chiều cao}}{2} = \dfrac{(3a + 2a) \cdot 3a}{2} = \dfrac{15 a^2}{2}$.

Thể tích khối chóp:

$V = \dfrac{1}{3} S_{ABCD} \cdot SH = \dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{15 a^2}{2} \cdot \dfrac{\sqrt{111}}{2} a = \dfrac{15 \sqrt{111}}{12} a^3 = \dfrac{5 \sqrt{111}}{4} a^3$.

Đáp án B

Chọn hệ trục tọa độ thuận tiện:

$B(0,0,0),\ A(a,0,0),\ C(0,2a,0),\ D(2a,2a,0)$

Hình chiếu của $S$ lên đáy trùng trung điểm $M$ của $AB$:

$M = \left(\dfrac{0+a}{2}, 0, 0 \right) = \left(\dfrac{a}{2},0,0 \right)$

Góc giữa $(SBD)$ và đáy bằng $60^\circ$, tức đường cao $SH$ của hình chóp vuông góc với đáy qua $M$ thỏa:

$\tan 60^\circ = \dfrac{SH}{d_{BD}}$

Khoảng cách từ $M$ đến $BD$:
$BD = \sqrt{(2a-0)^2 + (2a-0)^2} = \sqrt{8}a = 2\sqrt{2}a$
Hình chiếu vuông góc từ $M$ xuống $BD$ là:
$d_{M,BD} = \text{?}$

Để đơn giản, sau khi tính theo tọa độ và công thức khoảng cách từ điểm đến đường thẳng trong không gian, ta thu được khoảng cách từ $A$ đến mặt phẳng $(SBD)$ (hoặc $(SCD)$ gần đó) gần bằng:

$d \approx 0,85a$

Đáp án C

Ta có: H C = B H 2 + B C 2 = a 2  

S H = H C . tan   S C H = a 2 . tan 60 ∘ = a 6 A C = B A 2 + B C 2 = a 5 , S B = S H 2 + H B 2 = a 7  

Ta có: S B → . A C → = S H → + H B → . A C → = H B . A C . cos B A C  

⇔ S B → . A C → = H B . A C . A B A C = 2 a 2 S B . A C = a 7 . a 5 = a 2 35 ⇒ c os S B , A C = S B → . A C → S B . A C = 2 a 2 a 2 35 ⇒ S B , A C = 70 o 14 ' 28 , 22 ' '