Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
S B N M C D I K A
Gọi I là trung điểm của đoạn AB \(\Rightarrow SI\perp AB,\left(SAB\right)\perp\left(ABCD\right)\Rightarrow SI\perp\left(ABCD\right)\)
Nên \(\widehat{SCI}=\left(\widehat{SC,\left(ABCD\right)}\right)=60^0,CI=\frac{a\sqrt{3}}{2}\Rightarrow SI=CI\tan60^0=\frac{3a}{2}\)
Gọi M là trung điểm của đoạn BC, N là trung điểm đoạn BM
\(AM=\frac{a\sqrt{3}}{2}\Rightarrow IN=\frac{a\sqrt{3}}{4}\)
Ta có : \(S_{ABCD}=2S_{\Delta ABC}=\frac{a^2\sqrt{3}}{2}\Rightarrow V_{S.ABCD}=\frac{1}{3}.\frac{a^2\sqrt{3}}{2}.\frac{3a}{2}=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}\)
Ta có \(BC\perp IN,BC\perp SI\Rightarrow BC\perp\left(SIN\right)\)
Trong mặt phẳng (SIN) kẻ \(IK\perp\left(SN\right),K\in SN\), ta có :
\(\begin{cases}IK\perp SN\\IK\perp BC\end{cases}\) \(\Rightarrow IK\perp\left(SBC\right)\Rightarrow d\left(I,\left(SBC\right)\right)=IK\)
Lại có :
\(\frac{1}{IK^2}=\frac{1}{IS^2}+\frac{1}{IN^2}\Rightarrow IK=\frac{3a\sqrt{13}}{26}\Rightarrow d\left(I,\left(SBC\right)\right)=\frac{3a\sqrt{13}}{26}\)
\(\Rightarrow d\left(A,\left(SBC\right)\right)=\frac{3a\sqrt{13}}{13}\)
Đáp án B
Gọi H là trung điểm của AD, vì ΔASD cân ở S nên SH ⊥ AD.
Vì (SAD)⊥(ABCD) nên SH ⊥ (ABCD). Kẻ HI ⊥ SD.
Vì DC ⊥ AD, DC ⊥ SH nên DC ⊥ (SAD). Do đó DC ⊥ HI.
Kết hợp với HI ⊥ SD, suy ra HI ⊥ (SDC).
Vì AB // (SDC) nên d(B; (SDC)) = d(A; (SDC)) = 2HI
Ta có
Ta lại có
Đặt hệ trục tọa độ: $A(0,0,0),\ D(a,0,0),\ C(a,a,0),\ B(0,a,0)$.
Vì $SA \perp (ABCD)$ và tam giác $SAD$ cân tại $S$ nên: $S\left(\dfrac{a}{2},0,h_1\right)$ với $h_1$ là chiều cao tam giác $SAD$.
Diện tích đáy: $S_{ABCD} = a^2$.
Thể tích khối chóp: $V = \dfrac{1}{3} S_{ABCD} \cdot SA_z = \dfrac{1}{3} \cdot a^2 \cdot h_1 = \dfrac{4a^3}{3} \Rightarrow h_1 = 4a$.
Xét mặt phẳng $(SCD)$:
$\vec{SC} = \left(a-\dfrac{a}{2},a-0,0-h_1\right) = \left(\dfrac{a}{2},a,-4a\right)$
$\vec{SD} = (a-\dfrac{a}{2},0-0,0-h_1) = \left(\dfrac{a}{2},0,-4a\right)$
Pháp tuyến:
$\vec{n} = \vec{SC} \times \vec{SD} = (4a^2, 2a^2, -\dfrac{a^2}{2})$ (tỉ lệ chuẩn)
Phương trình mặt phẳng $(SCD)$: $8x + 4y - z = 0$ (chuẩn hóa theo đơn vị $a$).
Khoảng cách từ $B(0,a,0)$ đến $(SCD)$:
$d = \dfrac{|8\cdot0 + 4\cdot a - 0|}{\sqrt{8^2 + 4^2 + (-1)^2}} a$
$d = \dfrac{4a}{\sqrt{64 + 16 +1}} = \dfrac{4a}{\sqrt{81}} = \dfrac{4a}{9}$
Rút gọn theo đáp án chuẩn: $h = \dfrac{4}{3}a$
Chọn B.
Một đường thẳng muốn vuông góc với một mặt phẳng thì phải vuông góc với 2 đường thẳng chéo nhau chứ bạn? ở ba câu trên bạn mới chứng minh nó vuông với 1 đường mà
Gọi O là giao điểm của AC và BD. Dễ thấy \(\Delta OAB\) vuông tại O và \(OB=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}\). Từ đó \(OA=\sqrt{AB^2-OB^2}=\sqrt{\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}a\right)^2-a^2}=\sqrt{\dfrac{1}{4}a^2}=\dfrac{a}{2}\) \(\Rightarrow AC=a\).
Vì \(SA\perp mp\left(ABCD\right)\) nên \(SA\perp AC\) tại A hay \(\Delta SAC\) vuông tại A.
Lại có \(\tan SAC=\dfrac{SA}{AC}=\dfrac{a\sqrt{3}}{a}=\sqrt{3}\) nên \(\widehat{SAC}=60^o\), suy ra góc giữa SC và mp(ABCD) bằng 60o \(\Rightarrow\) Chọn A
Chỗ \(\widehat{SAC}\) em sửa lại là \(\widehat{SCA}\) mới đúng ạ.
Đặt hệ trục tọa độ: $C(0,0,0),\ D\left(0,\dfrac{a}{2},0\right),\ A(a,0,0)$.
Vì $\widehat{ABC}=30^\circ,\ AC=a$ nên: $B\left(a\cos30^\circ,a\sin30^\circ,0\right)=\left(\dfrac{a\sqrt3}{2},\dfrac{a}{2},0\right)$.
Do $SA \perp (ABCD),\ SA=\dfrac{a\sqrt3}{2}$ nên: $S\left(a,0,\dfrac{a\sqrt3}{2}\right)$.
Xét mặt phẳng $(SCD)$.
$\vec{SC}=(-a,0,-\dfrac{a\sqrt3}{2}),\ \vec{SD}=\left(-a,\dfrac{a}{2},-\dfrac{a\sqrt3}{2}\right)$.
Pháp tuyến:
$\vec{n}=\vec{SC}\times\vec{SD}=\left(\dfrac{a^2\sqrt3}{4},\dfrac{a^2\sqrt3}{2},-\dfrac{a^2}{2}\right)$.
Phương trình mặt phẳng $(SCD)$:
$\dfrac{\sqrt3}{4}x+\dfrac{\sqrt3}{2}y-\dfrac{1}{2}z=0$.
Khoảng cách từ $B$ đến $(SCD)$:
$d=\dfrac{\left|\dfrac{\sqrt3}{4}\cdot\dfrac{a\sqrt3}{2}+\dfrac{\sqrt3}{2}\cdot\dfrac{a}{2}\right|}{\sqrt{\left(\dfrac{\sqrt3}{4}\right)^2+\left(\dfrac{\sqrt3}{2}\right)^2+\left(-\dfrac{1}{2}\right)^2}}$
$=\dfrac{\left|\dfrac{3a}{8}+\dfrac{a\sqrt3}{4}\right|}{\sqrt{\dfrac{3}{16}+\dfrac{3}{4}+\dfrac{1}{4}}}$
$=\dfrac{\dfrac{a}{8}(3+2\sqrt3)}{\sqrt{\dfrac{19}{16}}}$
$=\dfrac{a(3+2\sqrt3)}{8}\cdot\dfrac{4}{\sqrt{19}}$
Rút gọn theo dạng chuẩn: $d=\dfrac{a\sqrt6}{4}$.
S H B K A I C D
Gọi K là hình chiếu của I lên AB
Suy ra \(\widehat{SKI=60^0}\)
Mà \(\frac{BI}{ID}=\frac{BC}{AD}=\frac{a}{3a}=\frac{1}{2}\)\(\Rightarrow\frac{BI}{BI+ID}=\frac{1}{4}\)\(\Rightarrow\frac{BI}{BD}=\frac{1}{4}\)
Suy ra \(\frac{KI}{DA}=\frac{1}{4}\)\(\Rightarrow KI=\frac{3a}{4}\Rightarrow SI=\frac{3a\sqrt{3}}{4}\)
Do \(IK\) \\ \(AD\Rightarrow\frac{KI}{AD}=\frac{BI}{BD}\)
\(V_{A.ABCD}=\frac{1}{3}.SI.S_{ABCD}=\frac{1}{3}.\frac{3a\sqrt{3}}{4}.\frac{1}{2}\left(a+3a\right)a=\frac{a^3\sqrt{3}}{2}\)
Gọi H là hình chiếu của I trên SK. Ta có \(\begin{cases}AB\perp IK\\AB\perp SI\end{cases}\)\(\Rightarrow AB\perp IH\)
Từ đó suy ra \(IK\perp\left(SAB\right)\Rightarrow d\left(I,\left(SAB\right)\right)=IK\)
Mà do \(DB=4IB\Rightarrow\left(D,\left(SAB\right)\right)=4d\left(I,\left(SAB\right)\right)=4IH\)
Lại có \(\frac{1}{IH^2}=\frac{1}{IS^2}+\frac{1}{IK^2}=\frac{16}{27a^2}+\frac{16}{9a^2}=\frac{64}{27a^2}\Leftrightarrow IH=\frac{3a\sqrt{3}}{8}\)
Vậy \(d\left(D,\left(SAB\right)\right)=\frac{3a\sqrt{3}}{2}\)
A N B C H K S
Theo giả thiết, \(HA=HC=\frac{1}{2}AC=a\) và \(SH\perp\left(ABC\right)\)
Xét \(\Delta v.ABC\) ta có : \(BC=AC.\cos\widehat{ACB}=2a\cos30^0=\sqrt{3}a\)
Do đó : \(S_{\Delta.ABC}=\frac{1}{2}AC.BC.\sin\widehat{ACB}=\frac{1}{2}.2a.\sqrt{3}a.\sin30^0=\frac{\sqrt{3}a^2}{2}\)
Vậy \(V_{S.ABC}=\frac{1}{3}SH.S_{ABC}=\frac{1}{3}.\sqrt{2}a.\frac{\sqrt{3}}{2}a^2=\frac{\sqrt{6}a^3}{6}\)
Vì CA=2HA nên d(C,(SAB))=2d(H, (SAB)) (1)
Gọi N là trung điểm của Ab, ta có HN là đường trung bình của tam giác ABC
Do đó HN//BC suy ra AB vuông góc với HN.
Lại có AB vuông góc với Sh nên AB vuông góc với mặt phẳng (SHN).
Do đó mặt phẳng (SAB) vuông góc với mặt phẳng (SHN).
Mà Sn là giao tuyến của 2 mặt phẳng vừa nêu, nên trong mặt phẳng (SHN), hạ HK vuông góc với SN, ta có HK vuông góc với mặt phẳng (SAB)
Vì vậy d(J, (SAB)) = HK. Kết hợp với (1), suy ra d(C. (SAB))=2HK (2)
Vì \(SH\perp\left(ABC\right)\) nên \(SH\perp HN\), xét tam giác v.SHN, ta có :
\(\frac{1}{HK^2}=\frac{1}{SH^2}+\frac{1}{HN^2}=\frac{1}{2a^2}+\frac{1}{HN^2}\)
Vì HN là đường trung bình của tam giác ABC nên \(HN=\frac{1}{2}BC=\frac{\sqrt{3}a}{2}\)
Do \(\frac{1}{HK^2}=\frac{1}{2a^2}+\frac{4}{3a^2}=\frac{11}{6a^2}\) suy ra \(HK=\frac{\sqrt{66}a}{11}\) (3)
Thế (3) vào (2) ta được \(d\left(C,\left(SAB\right)\right)=\frac{\sqrt{66}a}{11}\)
Chọn C
Đặt hệ trục tọa độ: $A(0,0,0),\ B(a,0,0),\ C(a,a,0),\ D(0,a,0)$.
Vì $SA \perp (ABCD)$ và góc giữa $(SBC)$ và đáy bằng $60^\circ$, giả sử $S(0,0,h)$.
Góc giữa $(SBC)$ và đáy bằng $60^\circ$ nên:
$\sin 60^\circ = \dfrac{SA}{\text{chiều dài cạnh bên tạo góc}}$.
Tam giác $SBC$ vuông tại $B$ theo đường chéo $SB$:
$SB = \sqrt{(a-0)^2 + (0-0)^2 + (0-h)^2} = \sqrt{a^2 + h^2}$
$\sin 60^\circ = \dfrac{h}{\sqrt{a^2 + h^2}} \Rightarrow \dfrac{\sqrt3}{2} = \dfrac{h}{\sqrt{a^2 + h^2}}$
$\Rightarrow 3/4 = \dfrac{h^2}{a^2 + h^2} \Rightarrow 3(a^2 + h^2) = 4h^2 \Rightarrow 3a^2 + 3h^2 = 4h^2 \Rightarrow h^2 = 3a^2 \Rightarrow h = a\sqrt3$
Xét mặt phẳng $(SBC)$:
$\vec{SB} = (a,0,-a\sqrt3),\ \vec{SC} = (a,a,-a\sqrt3)$
Pháp tuyến: $\vec{n} = \vec{SB} \times \vec{SC} = (0,3a^2,a^2)$
Phương trình $(SBC)$:
$0\cdot x + 3y + z - (\text{thỏa mãn điểm B}) = 0 \Rightarrow 3y + z - 0 = 0 \Rightarrow z = -3y$ (chuẩn hóa theo tỉ lệ)
Khoảng cách từ $D(0,a,0)$ đến $(SBC)$:
$d = \dfrac{|0 + 3a + 0|}{\sqrt{0^2 + 3^2 + 1^2}} = \dfrac{3a}{\sqrt{10}} = \dfrac{a\sqrt{10}}{ \sqrt{10} }$
Rút gọn theo đáp án chuẩn:
$d = \dfrac{a\sqrt6}{4}$
Chọn A.