Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
S B N M C D I K A
Gọi I là trung điểm của đoạn AB \(\Rightarrow SI\perp AB,\left(SAB\right)\perp\left(ABCD\right)\Rightarrow SI\perp\left(ABCD\right)\)
Nên \(\widehat{SCI}=\left(\widehat{SC,\left(ABCD\right)}\right)=60^0,CI=\frac{a\sqrt{3}}{2}\Rightarrow SI=CI\tan60^0=\frac{3a}{2}\)
Gọi M là trung điểm của đoạn BC, N là trung điểm đoạn BM
\(AM=\frac{a\sqrt{3}}{2}\Rightarrow IN=\frac{a\sqrt{3}}{4}\)
Ta có : \(S_{ABCD}=2S_{\Delta ABC}=\frac{a^2\sqrt{3}}{2}\Rightarrow V_{S.ABCD}=\frac{1}{3}.\frac{a^2\sqrt{3}}{2}.\frac{3a}{2}=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}\)
Ta có \(BC\perp IN,BC\perp SI\Rightarrow BC\perp\left(SIN\right)\)
Trong mặt phẳng (SIN) kẻ \(IK\perp\left(SN\right),K\in SN\), ta có :
\(\begin{cases}IK\perp SN\\IK\perp BC\end{cases}\) \(\Rightarrow IK\perp\left(SBC\right)\Rightarrow d\left(I,\left(SBC\right)\right)=IK\)
Lại có :
\(\frac{1}{IK^2}=\frac{1}{IS^2}+\frac{1}{IN^2}\Rightarrow IK=\frac{3a\sqrt{13}}{26}\Rightarrow d\left(I,\left(SBC\right)\right)=\frac{3a\sqrt{13}}{26}\)
\(\Rightarrow d\left(A,\left(SBC\right)\right)=\frac{3a\sqrt{13}}{13}\)
Vì $AB=BC=a$ và tam giác vuông tại $B$ nên: $AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=a\sqrt2$
Do $SA\perp(ABC)$ nên: $SA\perp AB,\ SA\perp BC$
Góc giữa hai mặt phẳng $(SAC)$ và $(SBC)$ là góc giữa hai đường thẳng lần lượt vuông góc với giao tuyến $SC$ trong hai mặt phẳng đó.
Gọi $H$ là trung điểm $SC$.
Ta có: $AC= a\sqrt2$
Trong tam giác vuông $SAC$: $SA=a,\ AC=a\sqrt2$
⇒ $SC=\sqrt{SA^2+AC^2} =\sqrt{a^2+2a^2} =a\sqrt3$
Xét tam giác $SBC$: $SB=\sqrt{SA^2+AB^2} =\sqrt{a^2+a^2} =a\sqrt2$
Ta có tam giác $SBC$ với:
$SB=a\sqrt2,\ BC=a,\ SC=a\sqrt3$
Dùng định lý cosin tính góc tại $C$:
$\cos\widehat{SCB} =\dfrac{SC^2+BC^2-SB^2}{2\cdot SC\cdot BC}$
$=\dfrac{3a^2+a^2-2a^2}{2\cdot a\sqrt3\cdot a}$
$=\dfrac{2a^2}{2a^2\sqrt3} =\dfrac1{\sqrt3}$
Vậy góc giữa hai mặt phẳng là: $\boxed{30^\circ}$
Đáy $ABC$ là tam giác vuông cân tại $B$
$\Rightarrow AB \perp BC,; AB = BC = a$
Diện tích đáy:
$S_{ABC} = \dfrac{1}{2}AB\cdot BC = \dfrac{1}{2}a\cdot a = \dfrac{a^2}{2}$
$SA \perp (ABC)$
$\Rightarrow SA$ là chiều cao của khối chóp.
Gọi $H$ là chân đường vuông góc từ $A$ xuống $BC$
Vì tam giác vuông cân tại $B$:
$AH = \dfrac{a}{\sqrt{2}}$
Góc giữa hai mặt phẳng $(ABC)$ và $(SBC)$ bằng $60^\circ$
$\tan 60^\circ = \dfrac{SA}{AH}$
$\sqrt{3} = \dfrac{SA}{\dfrac{a}{\sqrt{2}}}$
$\Rightarrow SA = \dfrac{a\sqrt{6}}{2}$
Thể tích khối chóp:
$V = \dfrac{1}{3}\cdot S_{ABC}\cdot SA = \dfrac{1}{3}\cdot \dfrac{a^2}{2}\cdot \dfrac{a\sqrt{6}}{2} = \dfrac{a^3\sqrt{6}}{12}$
$V = \dfrac{a^3\sqrt{6}}{12}$
Gọi O là tâm đáy \(\Rightarrow SO\perp\left(ABCD\right)\)
Gọi M là trung điểm AB \(\Rightarrow AB\perp OM\Rightarrow AB\perp\left(SOM\right)\)
\(\Rightarrow\widehat{SMO}\) là góc giữa mặt bên và đáy hay \(\widehat{SMO}=60^0\)
\(SO=OM.tan\widehat{SMO}=\dfrac{a}{2}.tan60^0=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}\)
\(V=\dfrac{1}{3}SO.S_{ABCD}=\dfrac{1}{3}.\dfrac{a\sqrt{3}}{2}.a^2=\dfrac{a^3\sqrt{3}}{6}\)
Chọn D
Gọi H là trung điểm của AB.
Do đó:
Xét tam giác vuông BHC:
Xét tam giác vuông SHC:
Suy ra:
Đặt hệ trục tọa độ: $A(0,0,0),\ B(a,0,0),\ D(0,a,0),\ C(a,a,0)$.
Vì $(SAB)$ là tam giác cân tại $S$ và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy, giả sử $S\left(\dfrac{a}{2},0,h\right)$.
Góc giữa $SC$ và đáy bằng $45^\circ$:
$\vec{SC} = C - S = \left(a - \dfrac{a}{2}, a - 0, 0 - h\right) = \left(\dfrac{a}{2}, a, -h\right)$
Chiều dài $|\vec{SC}| = \sqrt{\left(\dfrac{a}{2}\right)^2 + a^2 + h^2} = \sqrt{\dfrac{5a^2}{4} + h^2}$
Theo định nghĩa: $\sin 45^\circ = \dfrac{h}{|\vec{SC}|} \Rightarrow \dfrac{\sqrt2}{2} = \dfrac{h}{\sqrt{h^2 + \dfrac{5a^2}{4}}}$
Giải ra: $h^2 + \dfrac{5a^2}{4} = 2 h^2 \Rightarrow h^2 = \dfrac{5a^2}{4} \Rightarrow h = \dfrac{a\sqrt5}{2}$
Diện tích đáy: $S_{ABCD} = a^2$
Thể tích khối chóp:
$V = \dfrac{1}{3} S_{ABCD} \cdot SA_z = \dfrac{1}{3} \cdot a^2 \cdot \dfrac{a\sqrt5}{2} = \dfrac{a^3 \sqrt5}{6}$
Vậy: $V = \dfrac{a^3 \sqrt5}{6}$
Chọn D.
Đáp án C
Gọi H là trung điểm AC. Ta có tam giác SAC cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với (ABC)
suy ra S H ⊥ A B C
Ta có
S B , A B C = S B H ^ = 45 o ⇒ S H = B H = 1 2 A C = a 2 2 V S . A B C = 1 3 . a 2 2 . 1 2 a 2 = a 3 2 12
Vì tam giác $ABC$ vuông cân tại $B$ nên: $AB=BC=a$
Diện tích đáy: $S_{ABC}=\dfrac12 AB\cdot BC=\dfrac12 a\cdot a=\dfrac{a^2}{2}$
Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của $S$ lên mặt phẳng $(ABC)$.
Do tam giác $SAC$ nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy nên: $H\in AC$
Xét tam giác vuông $SBH$ tại $H$.
Vì góc giữa $SB$ và mặt phẳng $(ABC)$ bằng $45^\circ$ nên:
$\widehat{SBH}=45^\circ$
=> $\tan45^\circ=\dfrac{SH}{BH}$
$\Rightarrow SH=BH$
Trong tam giác vuông cân $ABC$ tại $B$ ta có: $AC=a\sqrt{2}$
Vì $H\in AC$ và tam giác $SAC$ cân tại $S$ nên $H$ là trung điểm của $AC$.
Do đó: $BH=\dfrac{AC}{2}=\dfrac{a\sqrt{2}}{2}=\dfrac{a}{\sqrt{2}}$
=> $SH=\dfrac{a}{\sqrt{2}}$
Thể tích khối chóp
$V=\dfrac13 S_{ABC}\cdot SH =\dfrac13\cdot\dfrac{a^2}{2}\cdot\dfrac{a}{\sqrt{2}} =\dfrac{a^3}{6\sqrt{2}} =\dfrac{a^3\sqrt{2}}{12}$
Vì tam giác $ABC$ vuông cân tại $B$ nên: $AB=BC=a$
Diện tích đáy: $S_{ABC}=\dfrac12 AB\cdot BC=\dfrac12 a\cdot a=\dfrac{a^2}{2}$
Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của $S$ lên mặt phẳng $(ABC)$.
Vì mặt phẳng $(SAC)\perp(ABC)$ nên $H\in AC$.
Do tam giác $SAC$ cân tại $S$ nên $H$ là trung điểm của $AC$.
Trong tam giác vuông cân $ABC$ tại $B$: $AC=a\sqrt2$
=> $BH=\dfrac{AC}{2}=\dfrac{a\sqrt2}{2}=\dfrac{a}{\sqrt2}$
Xét tam giác vuông $SBH$ tại $H$.
Góc giữa $SB$ và mặt phẳng $(ABC)$ bằng $45^\circ$ nên:
$\tan45^\circ=\dfrac{SH}{BH}$
$\Rightarrow SH=BH=\dfrac{a}{\sqrt2}$
Thể tích khối chóp
$V=\dfrac13 S_{ABC}\cdot SH =\dfrac13\cdot\dfrac{a^2}{2}\cdot\dfrac{a}{\sqrt2} =\dfrac{a^3}{6\sqrt2} =\dfrac{a^3\sqrt2}{12}$
Chọn D
Chọn hệ trục tọa độ:
$A(0,0,0),\ B(a,0,0),\ C(0,a,0)$ (tam giác vuông cân tại $A$)
Vì $SA \perp (ABC)$ nên đặt:
$S(0,0,h)$
Xét hai mặt phẳng $(ABC)$ và $(SBC)$
$(ABC)$ có pháp tuyến: $\vec{n_1} = (0,0,1)$Trong $(SBC)$:$\vec{SB} = (a,0,-h),\ \vec{SC} = (0,a,-h)$
$\vec{n_2} = \vec{SB} \times \vec{SC} = (ah,\ ah,\ a^2)$
Góc giữa hai mặt phẳng:
$\cos 60^\circ = \dfrac{|\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}|}{|\vec{n_1}|,|\vec{n_2}|}$
Tính:
$\vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = a^2$
$|\vec{n_2}| = a\sqrt{2h^2 + a^2}$
Suy ra:
$\dfrac{1}{2} = \dfrac{a}{\sqrt{2h^2 + a^2}}$
Giải ra:
$\dfrac{1}{4} = \dfrac{a^2}{2h^2 + a^2} \Rightarrow 2h^2 + a^2 = 4a^2$
$\Rightarrow h^2 = \dfrac{3a^2}{2} \Rightarrow h = \dfrac{a\sqrt{6}}{2}$