a: Ta có: \(AM=MB=\frac{AB}{2}\)

\(DN=NC=\frac{DC}{2}\)

mà AB=CD

nên AM=MB=DN=NC

Xét tứ giác AMCN có

AM//CN

AM=CN

Do đó: AMCN là hình bình hành

=>AN//CM

=>NE//CF và MF//AE

Xét ΔBAE có

M là trung điểm của BA

MF//AE

Do đó: F là trung điểm của BE

=>BF=EF(1)

Xét ΔDFC có

N là trung điểm của DC

NE//FC

Do đó; E là trung điểm của DF

=>DE=EF(2)

Từ (1),(2) suy ra BF=FE=ED

b: AMCN là hình bình hành

=>AC cắt MN tại trung điểm của mỗi đường(3)

ABCD là hình bình hành

=>AC cắt BD tại trung điểm của mỗi đường(4)

Từ (3),(4) suy ra AC,MN,BD đồng quy

a: Xét tứ giác AHCG có 

AG//CH

AG=CH

Do đó: AHCG là hình bình hành

b: Xét ΔAEG và ΔCFH có 

AE=CF

\(\widehat{A}=\widehat{C}\)

AG=CH

Do đó: ΔAEG=ΔCFH

Suy ra: EG=FH

Xét ΔEBH và ΔFDG có 

EB=FD

\(\widehat{B}=\widehat{D}\)

BH=DG

DO đó: ΔEBH=ΔFDG

Suy ra: EH=FG

Xét tứ giác EHFG có 

EH=FG

EG=HF

Do đó: EHFG là hình bình hành

c: ta có: ABCD là hình bình hành

nên Hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường(1)

Ta có: AECF là hình bình hành

nên hai đường chéo AC và EF cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường(2)

Ta có: EHFG là hình bình hành

nên Hai đường chéo EF,HG cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường(3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra AC,BD,GH,EF đồng quy

\(a,\) Vì ABCD là hbh nên \(AD=BC;AB//CD\Rightarrow\widehat{ADB}=\widehat{CBD}\left(so.le.trong\right)\)

Ta có \(\left\{{}\begin{matrix}\widehat{AED}=\widehat{CFB}\left(=90^0\right)\\\widehat{ADB}=\widehat{CBD}\left(cm.trên\right)\\AD=BC\left(cm.trên\right)\end{matrix}\right.\) nên \(\Delta AED=\Delta CFB\left(ch-gn\right)\)

\(\Rightarrow DE=BF\left(1\right)\)

Mà O là giao 2 đường chéo hbh ABCD nên O là trung điểm AC,BD

\(\Rightarrow OB=OD\left(2\right)\)

Từ \(\left(1\right)\left(2\right)\Rightarrow OB-BF=OD-DE\Rightarrow OE=OF\)

\(b,\) Xét tg AECF có O là trung điểm AC,EF nên là hbh

a) t.g ADH=CBK (ch-gn)

=> AH=CK

mà AH=//CK (cùng vuông góc vs BD)

=> AHCK là hbh

b) do O là trung điểm của AC nên O cũng là trung điểm của HK (t/c hbh)

=>O,H,K thẳng hàng và HO=OK

=> h và K đối xứng qua O

A B C D H K O