Cho tứ giác lồi ABCD.  Gọi I là trung điểm của AB, M thuộc đường chéo AC sao cho 2 đường thẳng IM và BC cắt nhau tại E \(\left(C\in BE\right)\).Vẽ đường thẳng qua M song song với AB cắt BC tại P, đường thẳng qua M song song với CD cắt AD tại Q.

a) CMR: \(\frac{1}{MP^2+MQ^2}\le\frac{1}{AB^2}+\frac{1}{CD^2}\)

b) Lấy \(F\in BD\) thỏa mãn \(\frac{BF}{FD}=\frac{AM}{MC}\).

CMR: EF luôn đi qua một điểm cố định khi M chạy trên AC.

Cho hình vuông ABCD, có độ dài cạnh bằng a. E là một điểm di chuyển trên CD ( E khác C, D). Đường thẳng AE cắt đường thẳng BC tại F, đường thẳng vuông góc với AE tại A cắt đường thẳng CD tại K.

a)     Chứng minh: \(\frac{1}{AE^2}+\frac{1}{AF^2}\) không đổi.

b)     Chứng minh: \(\cos AKE=\sin EKF.\cos EFK+\sin EFK.\cos EKF\)

c)     Lấy điểm M là trung điểm đoạn AC. Trình bày cách dựng điểm N trên DM sao cho khoảng cách từ N đến AC bằng tổng khoảng cách từ N đến DC và AD.

Cho đường tròn (O) đường kính AB. Trên nửa đường tròn lấy M sao cho AM>BM.

a) Chứng minh \(\widehat{COD}=90^o\)và tính tích AC.BD theo R.

b) BC cắt nửa đường tròn tại F và AM cắt BD tại E, T là trung điểm BF. Chứng minh ÈF là tiếp tuyến đường tròn (O)

c) Từ M kẽ đường thẳng song song với AC và cắt BC tại N. Cho AK=\(\frac{3}{4}AC\)và BI=\(\frac{1}{4}BD\).Chứng minh ba điểm I,N,K thẳng hàng 

Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O), D là 1 điểm trên cạnh BC ( D khác B và C). Gọi M,N lần lượt là trung điểm các cạnh AB,AC. Đường thẳng MN cắt (O) tại các điểm P,Q (P,Q lần lượt thuộc cung AB và cung AC). Đường tròn ngoại tiếp tam giác BDP cắt AB tại I (khác B). Các đường thẳng DI và AC cắt nhau tại K.

a) C/m: Tứ giác AIPK nội tiếp và  \(\frac{PK}{PD}=\frac{QB}{QA}\)

b) Đường thẳng CP cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác BDP tại G (khác P). Đường thẳng IG cắt đường thẳng BC tại E. Cmr khi D di chuyển trên BC thì \(\frac{CD}{CE}\) không đổi.