a: Ta có: \(DE=EC=\frac{DC}{2}\)

\(AK=KB=\frac{AB}{2}\)

mà DC=AB

nên DE=EC=AK=KB

Xét tứ giác AECK có

AK//CE

AK=CE

Do đó: AECK là hình bình hành

b: ABCD là hình bình hành

=>AC cắt BD tại trung điểm của mỗi đường

=>O là trung điểm chung của AC và BD

AECK là hình bình hành

=>AC cắt EK tại trung điểm của mỗi đường

mà O là trung điểm của AC

nên O là trung điểm của EK

=>E,O,K thẳng hàng

c: Xét ΔDIC có

E là trung điểm của DC

EN//IC

Do đó: N là trung điểm của DI

=>DN=NI(1)

Xét ΔABK có

K là trung điểm của BA

KI//AN

Do đó: I là trung điểm của BN

=>BI=IN(2)

Từ (1),(2) suy ra DN=NI=IB

d: Xét ΔADC có

AE,DO là các đường trung tuyến

AE cắt DO tại N

DO đó: N là trọng tâm của ΔADC

=>\(AN=\frac23AE\)

Xét ΔABN có

K,I lần lượt là trung điểm của BA,BN

=>KI là đường trung bình của ΔABN

=>KI//AN và \(KI=\frac12AN=\frac12\cdot\frac23\cdot AE=\frac13AE\)

=>AE=3KI

a: Xét ΔOAB và ΔOCD có

góc OAB=góc OCD

góc AOB=góc COD

=>ΔOAB đồng dạng với ΔOCD

=>OA/OC=OB/OD=AB/CD

=>OA/10=OC/18=(OA+OC)/(10+18)=21/28=3/4

=>OA=7,5cm; OC=13,5cm

b: OA/OC=OB/OD

=>OA*OD=OB*OC

c: AM/CN=AB/CD=OA/OC

Xét ΔOAM và ΔOCN có

OA/OC=AM/CN

góc OAM=góc OCN

=>ΔOAM đồng dạng với ΔOCN

=>góc AOM=góc CON

=>góc AOM+góc AON=180 độ

=>M,O,N thẳng hàng

a) Xét ΔABD có
H là trung điểm AD
E là trung điểm AB
=> HE là đường trung bình ΔABD
=> HE//BD và HE = 1/2 BD (1)
CMTT => GF // BD và GF = 1/2 BD (2)
Từ (1) và (2) => HEFG là hình bình hành.

b) Để EFGH là hình chữ nhật
<=> HE = HG. Mà HE = 1/2 BD
HG = 1/2 AC
<=> BD = AC
Vậy khi hai đường chéo AC và BD của tứ giác ABCD bằng nhau thì EFGH là hình chữ nhật.

A B C N M G E F I

a, xét tứ giác BICG có : 

M là trung điểm cuả BC do AM là trung tuyến (gt)

M là trung điểm của GI do I đx G qua M (gt)

=> BICG là hình bình hành (dh)

+ G là trọng tâm của tam giác ABC (gt)

=> GM = AG/2 và  GN = BG/2 (đl)

E; F lần lượt là trung điểm của  GB; GA (gt) => FG = AG/2 và GE = BG/2 (tc)

=> FG = GM và GN = GE 

=> G là trung điểm của FM và EN 

=> MNFE là hình bình hành (dh)

b, MNFE là hình bình hành (câu a)  

để MNFE là hình chữ nhật

<=> NE = FM 

có : NE = 2/3BN và FM = 2/3AM

<=> AM = BN  mà AM và BN là trung tuyến của tam giác ABC (Gt)

<=>  tam giác ABC cân tại C (đl)

c, khi BICG là hình thoi 

=> BG = CG 

BG và AG là trung tuyến => CG là trung tuyến

=> tam giác ABC cân tại A 

a: Xét tứ giác AMNB có 

AB//MN

AM//BN

Do đó: AMNB là hình bình hành