A B C D E F N I M K G

a) AM//CD. Theo định lí Ta-let, ta có: \(\frac{IM}{ID}=\frac{AI}{IC}\)( 1 )

AD//CN. Theo định lí Ta-let, ta có : \(\frac{IA}{IC}=\frac{ID}{IM}\) ( 2 )

Từ ( 1 ) và ( 2 ) suy ra \(\frac{IM}{ID}=\frac{ID}{IN}\Rightarrow ID^2=IM.IN\)

b) Ta có : \(\frac{DM}{MN}=\frac{AM}{MB}\Rightarrow\frac{DM}{DM+MN}=\frac{AM}{AM+MB}\)

do đó : \(\frac{DM}{DN}=\frac{AM}{AB}\)( 3 )

Mà ID = IK ; ID² = IM.IN

\(\Rightarrow IK^2=IM.IN\)\(\Rightarrow\frac{IK}{IM}=\frac{IN}{IK}\Rightarrow\frac{IK-IM}{IM}=\frac{IN-IK}{IK}\)

Do đó : \(\frac{MK}{IM}=\frac{KN}{IK}\Rightarrow\frac{KM}{KN}=\frac{IM}{IK}=\frac{IM}{ID}=\frac{AM}{CD}=\frac{AM}{AB}\)( 4 )

Từ ( 3 ) và ( 4 ) suy ra \(\frac{DM}{DN}=\frac{KM}{KN}\)

c) \(\Delta AGB~\Delta AEC\left(g.g\right)\)\(\Rightarrow\frac{AB}{AG}=\frac{AC}{AE}\Rightarrow AB.AE=AC.AG=AG\left(AG+GC\right)\)( 5 )

\(\Delta BGC~\Delta CFA\left(g.g\right)\)\(\Rightarrow\frac{AF}{GC}=\frac{AC}{BC}=\frac{AC}{AD}\)

\(\Rightarrow AF.AD=AC.GC=GC\cdot\left(AG+GC\right)\)( 6 )

Cộng ( 5 ) và ( 6 ) theo vế, ta được :

\(AB.AE+AF.AD=AG\left(GC+AG\right)+GC\left(AG+GC\right)=\left(AG+GC\right)^2=AC^2\)

A M B N E C F D I G K

a/ Xét \(\Delta IMC\)có : MC // AD nên : \(\frac{IM}{ID}=\frac{IC}{IA}\)( hệ quả định lí Ta-let )

Xét \(\Delta IDC\)có : DC // AN nên : \(\frac{ID}{IN}=\frac{IC}{IA}\)( hệ quả định lí Ta-let )

Do đó : \(\frac{IM}{ID}=\frac{ID}{IN}\left(=\frac{IC}{IA}\right)\)

Vậy : \(IM.IN=ID^2\)

b/ Ta có : \(\frac{DM}{DN}=\frac{DM}{DM+MN}\)

\(=\frac{AD}{AD+NB}=\frac{AD}{CN}\)

\(=\frac{ID}{IN}=\frac{2.ID}{2.IN}\)

\(=\frac{KD}{KD+2.NK}\)

\(\Leftrightarrow\frac{DM}{DN}=\frac{KD}{DN+NK}\)

\(=\frac{KD-DM}{DN+NK-DN}=\frac{KM}{KN}\left(đpcm\right)\)

c) Xét \(\Delta ABG\)và\(\Delta ACE\)có :

\(\widehat{AGB}=\widehat{AEC}\left(=90^0\right)\)

\(\widehat{A}:chung\)

=> tam giác AGB = tam giác ACE ( cgv-gn )

\(\Rightarrow\frac{AB}{AG}=\frac{AC}{AE}\)

\(\Rightarrow AB.AE=AC.AG\)

CM tương tự,ta có : \(\Delta BCG\)đồng dạng với \(\Delta ACF\)

\(\Rightarrow\frac{BC}{GC}=\frac{AC}{AF}\)

\(\Rightarrow AC.AF=AC.GC\)

\(\Rightarrow AD.AF=AC.AG\)( vì AD = BC )

Do đó : \(AB.AE+AD.AF=AC.AG+AC.GC\)

\(\Rightarrow AB.AE+AD.AF=AC.\left(AG+GC\right)\)

\(\Rightarrow AB.AE+AD.AF=AC.AC\)

Vậy AB.AE + AD.À = AC²

a)Hình như đề sai. phải là:  \(\frac{KM}{KN}=\frac{DN}{DM}\Leftrightarrow\frac{KM}{KM+MN}=\frac{DN}{DN+NM}\Leftrightarrow\)đến đây để c/m đc thì phải c/m KM=DN

hình nè: 

b) dễ dàng c/m tam giác AGB đồng dạng tam giác AEC

=> \(\frac{AG}{AE}=\frac{AB}{AC}\Rightarrow AE.AB=AG.AC\)

đề câu này cũng sai. phải là: AB.AE=AD.AF hay là một tỉ số nào đó

theo chị em phải c/m tỉ số thứ 2 đó = CG.AC

=> cộng vào sẽ được AC(AG+CG)=AC ^2

đến  đây chị chỉ giúp được vậy thôi. bài khó quá

Để chứng minh các phần của bài toán, ta sẽ sử dụng các định lí và quy tắc trong hình học.

a) Ta có thể chứng minh IM.IN = ID^2 bằng cách sử dụng định lí đường chéo trong hình bình hành. Theo định lí này, ta biết rằng đường chéo chia hình bình hành thành hai tam giác đồng dạng. Vì vậy, ta có thể sử dụng tỷ lệ đồng dạng để chứng minh IM.IN = ID^2.

b) Để chứng minh KM/KN = DM/DN, ta có thể sử dụng định lí đối xứng qua một điểm. Vì K là điểm đối xứng của D qua I, nên ta có thể sử dụng định lí này để chứng minh tỷ lệ KM/KN = DM/DN.

c) Để chứng minh AB.AE + AD.AF = AC^2, ta có thể sử dụng định lí tổng của các tam giác đồng dạng. Theo định lí này, ta biết rằng tổng các bình phương của các cạnh của một tam giác đồng dạng với một tam giác khác bằng nhau. Vì vậy, ta có thể sử dụng định lí này để chứng minh AB.AE + AD.AF = AC^2.

Tuy nhiên, để chứng minh các phần của bài toán một cách chính xác, ta cần có thêm thông tin về các góc và độ dài cạnh trong hình bình hành ABCD.

a: Xét ΔINC và ΔIDA có

\(\hat{INC}=\hat{IDA}\) (hai góc so le trong, AD//NC)

\(\hat{NIC}=\hat{DIA}\) (hai góc đối đỉnh)

Do đó: ΔINC~ΔIDA

=>\(\frac{IN}{ID}=\frac{IC}{IA}\) (1)

Xét ΔICD và ΔIAM có

\(\hat{ICD}=\hat{IAM}\) (hai góc so le trong, CD//AM)

\(\hat{CID}=\hat{AIM}\) (hai góc đối đỉnh)

DO đó: ΔICD~ΔIAM

=>\(\frac{IC}{IA}=\frac{ID}{IM}\) (2)

Từ (1),(2) suy ra \(\frac{IN}{ID}=\frac{ID}{IM}\)

=>\(IN\cdot IM=ID^2\)

c: Xét ΔAEC vuông tại E và ΔAGB vuông tại G có

\(\hat{EAC}\) chung

Do đó: ΔAEC~ΔAGB

=>\(\frac{AE}{AG}=\frac{AC}{AB}\)

=>\(AE\cdot AB=AG\cdot AC\)

Kẻ DH⊥AC tại H

Xét ΔAHD vuông tại H và ΔAFC vuông tại F có

\(\hat{HAD}\) chung

Do đó: ΔAHD~ΔAFC

=>\(\frac{AH}{AF}=\frac{AD}{AC}\)
=>\(AH\cdot AC=AD\cdot AF\)

Xét ΔDHA vuông tại H và ΔBGC vuông tại G có

DA=BC

\(\hat{DAH}=\hat{BCG}\) (hai góc so le trong, AD//BC)

Do đó: ΔDHA=ΔBGC

=>AH=CG

\(AB\cdot AE+AD\cdot AF\)

\(=AG\cdot AC+AH\cdot AC=AG\cdot AC+CG\cdot CA=AC\left(AG+CG\right)=AC^2\)

A B C D H K I M N J P 1 2

a) Ta có: Tứ giác ABCD là hình bình hành => ^ABC = ^ADC => 180⁰ - ^ABC = 180⁰ -^ADC

=> ^CBH = ^CDK. 

Xét \(\Delta\)CHB và \(\Delta\)CKD: ^CHB=^CKD (=90⁰); ^CBH=^CDK => \(\Delta\)CHB ~ \(\Delta\)CKD (g.g)

=> \(\frac{CH}{CK}=\frac{CB}{CD}\Rightarrow\frac{CH}{CB}=\frac{CK}{CD}\)(đpcm).

b) Ta có: \(\frac{CH}{CB}=\frac{CK}{CD}\)(câu a) nên \(\frac{CH}{CB}=\frac{CK}{AB}\)(Do CD=AB) hay \(\frac{CB}{CH}=\frac{AB}{CK}\)

Thấy: ^ABC là góc ngoài \(\Delta\)CHB => ^ABC = ^CHB + ^HCB = 90⁰ + ^HCB (1)

BC // AD; CK vuông góc AD tại K => CK vuông góc BC (Quan hệ song song vuông góc)

=> ^BCK=90⁰ => ^KCH = ^HCB + ^BCK = ^HCB + 90⁰ (2)

Từ (1) và (2) => ^ABC = ^KCH

Xét \(\Delta\)ABC và \(\Delta\)KCH: ^ABC = ^KCH; \(\frac{CB}{CH}=\frac{AB}{CK}\)=> \(\Delta\)ABC ~ \(\Delta\)KCH (c.g.c) (đpcm).

c) Gọi P là hình chiếu vuông góc của D lên đường chéo AC.

Xét \(\Delta\)APD và \(\Delta\)AKC: ^APD = ^AKC (=90⁰); ^A₁ chung => \(\Delta\)APD ~ \(\Delta\)AKC (g.g)

=> \(\frac{AP}{AK}=\frac{AD}{AC}\Rightarrow AD.AK=AP.AC\)(3)

Xét \(\Delta\)DPC và \(\Delta\)CHA: ^DPC = ^CHA (=90⁰); ^DCP=^A₂ (Do AB//CD)

=> \(\Delta\)DPC ~ \(\Delta\)CHA (g.g) => \(\frac{CD}{AC}=\frac{CP}{AH}\Rightarrow CD.AH=CP.AC\)

Mà CD=AB nên \(AB.AH=CP.AC\)(4)

Cộng (3) với (4) theo vế: \(AB.AH+AD.AK=CP.AC+AP.AC=AC.\left(CP+AP\right)\)

\(\Rightarrow AB.AH+AD.AK=AC.AC=AC^2\)(đpcm).

d) Áp dụng hệ quả ĐL Thales ta được: \(\frac{ID}{IM}=\frac{IC}{IA}\)(AM//CD)

Lại có: \(\frac{IC}{IA}=\frac{IN}{ID}\)(CN//AD). Suy ra: \(\frac{ID}{IM}=\frac{IN}{ID}\Rightarrow IM.IN=ID^2\)(đpcm).

e) Ta có: \(\frac{ID}{IM}=\frac{IN}{ID}\)(cmt). Mà ID=IJ.

=> \(\frac{IJ}{IM}=\frac{IN}{IJ}\Rightarrow\frac{IM}{IJ}=\frac{IJ}{IN}=\frac{IM-IJ}{IJ-IN}=\frac{JM}{JN}\)(T/c dãy tỉ số bằng nhau)

\(\Rightarrow\frac{ID}{IN}=\frac{JM}{JN}\). Lại có: \(\frac{ID}{IN}=\frac{AD}{CN}=\frac{BC}{CN}=\frac{DM}{DN}\)(Hệ quả ĐL Thales)

Từ đó suy ra: \(\frac{JM}{JN}=\frac{DM}{DN}\)(đpcm).

a, Xté tứ giác AMIN có :

BMI=MAN=INA=90⁰

=> Tứ giác AMIN là hình chữ nhật

b, Xét ΔABC

có : BI=IC ( gt)

IN // AM ( gt )

=> AN=NC

mà IN=ND

=> Tứ giác ADCI là hình bình hành (1)

mà INC = 90^{0 (2)} Từ (1) và (2) => ADCI là hình thoi

c, Kẻ IQ // BK (QϵCD)

ΔBKC có :

BI = IC (gt)

IQ // BK (cách dựng )

cm tương tự : DK=KQ

=> DK=KQ=QC

=> DK/DC = 1/3

cái đây ý hả

A B C I M N D K a , Tứ giác ANMI có : góc MAN = góc ANI = góc AMI = 90^o nên là hình chữ nhật .

→ AI = MN

b, ΔABC vuông tại A có đường trung tuyến AI ứng với cạnh huyền nên :

AI = IC

→ ΔAIC cân tại I

→ Góc IAN = góc ICN

Xét ΔAIN và ΔCIN có :

Góc INA = Góc INC = 90^o

AI = IC

Góc IAN = góc ICN

→ Δ AIN = Δ CIN ( cạnh huyền - góc nhọn )

→ AN = NC

Ta có : IN = ND

AN = NC

→ Tứ giác AICD là hình bình hành mà có hai đường chéo ID và AC vuông góc với nhau nên là hinhg thoi .