Xét tam giác ABC có

P là trung điểm của AB

N là trung điểm của AC

Suy ra PN là đường trung bình của tam giác ABC

Suy ra PN song song với BC

Có NP song song với BC

Mà BC vuông góc với AH

Suy ra NP vuông góc với AH

Xét tứ giác MNQH có

PN song song với BC

Suy ra MNQH là hình thang

Mà góc MQH = 90 độ ( NP vuông góc với AH )

góc QHM = 90 độ ( AH vuông góc với BC )

Suy ra MNOH là hình thang vuông

Mình chịu câu b) :(

khó thế

thế tớ mới cần mn giúp 

Xét hbh ABCD có:

F là trung điểm của AD (gt)

E là trung điểm của BC (gt)

=> EF là đường trung bình của hbh ABCD 

=> AB//EF//DC (t/c đướng trung bình của hbh)

Ta có: hbh ABCD

=> Góc A = Góc C và góc B = góc D( t/c hbh)

Ta có: EF//DC(cmt) => góc AFE = góc ADC ( cặp góc đồng vị)

Mà Góc B = Góc ADC (cmt)

  => Góc B = góc AFE (1)

Ta có: EF//DC(cmt) => Góc BEF = góc BCD (cặp góc đồng vị)

Mà góc A = góc BCD 

  => góc A =góc BEF (2)

Từ (1) và (2)

  => Tứ giác ABEF là hình bình hành (5) ( các cặp góc đối bằng nhau)

Ta có: AD = 2AB hay AB = \(\frac{1}{2}\)AD (3)

 mà AF = \(\frac{1}{2}\)AD(4)

 Từ (3) và (4) => AB = AF (6)

Từ(5) và (6) => tứ giác ABEF là hình thoi ( hbh + 2 cạnh kề bằng nhau)

=> AE vuông góc với BF

Ở CÂU a) bạn có thể cm AB//EF và  AF// BE đề suy ra hbh nha

b) Gói O là giao điểm của AE và BF

Ta có: tứ giác ABEF là hình thoi => BF là tia phân giác của góc B ( t/c hình thoi)

Ta có: góc A = góc BEF (cmt)

Mà góc A = 60 độ (gt) 

=> góc A = góc BEF = 60 độ

Xét tứ giác ABEF có:

 góc BAF + góc ABE + góc BEF + góc AFE = 360 độ

=> 60 độ + góc ABE + 60 độ + góc AFE = 360 độ

=> góc ABE + góc  AFE = 360 độ - 60 độ - 60 độ = 240 độ

Mà góc ABE = góc AFE 

=> góc ABE = góc AFE = \(\frac{240}{2}\)=120 độ

Ta có: BF là tia p/g của góc B => góc ABF = góc EBF = \(\frac{120}{2}\) 60 độ

Vậy góc EBF = góc BEF = 60 độ ( góc A  = góc BEF đã cm ở câu a)

Mà góc BEF = góc BCD ( đã cm ở câu a)

=> góc EBF = góc BCD (7)

Ta có: AD//BC( tứ giác ABCD là hbh)=> FD//BC=> tứ giác FDCB là hình thang (8)

 Từ (7) và (8) => tứ giác FDCB là hinh thang cân

Câu c và d dễ lắm, bạn cố suy nghĩ nha, nhưng mình nói thật bài này rất rất rất dễ luôn đó

c) 

c) Ta có: góc A = góc ABF = 60 độ ( cm ở câu b )

  => AF = FB ( quan hệ giữa góc và cạnh đối diện)

Mà AF = FD ( f là trung điểm của AD)

=> FB = FD

=> tam giác DFB cân tại F

=> góc FBD = góc FDB (9)

Ta có: AD//BC ( cmt)

=> Góc FDB = góc CBD ( cặp góc slt)(10)

Từ (9) và (10) => góc FBD=góc CBD

Mà góc FBD+ góc CBD = 60 độ

=> góc FBD = góc CBD = \(\frac{60}{2}\)= 30 độ

Mà góc FDB = góc FBD

=> góc FDB = 30 độ

d) Ta có: B là trung điểm của AM => A,B,M thẳng hàng

Ta có: B là trung điểm của AM ( M đối xứng với A qua B) => AB = BM

  Mà AB = DC ( tứ giác ABCD là hbh)

DC = BM(11)

Ta có: AB//DC( tứ giác ACD là hbh)

Mà A,B,M thẳng hàng

=> BM//DC (12)

Tứ (11) và (12)

=> tứ giác BMCD là hình bình hành (13)

Ta có: góc ABE = góc AFE = 120 độ (cm ở câu b)

Mà góc ADC bằng 2 góc này

=> góc ADC = 120 độ

Xét góc ADC có:

góc ADB + góc BDC = 120 độ

=> 30 độ + góc BDC = 120 độ

=> góc BDC = 120 độ - 30 độ = 90 độ (14) 

Từ (13) và (14)

=> tứ giác BMCD là hình chữ nhật ( hbh+ 1 góc vuông)

=> E là trung điểm của BC và BC ( t/c hình chữ nhật)

Có  E là trung điểm của MD => 3 điểm D,E,M thẳng hàng

a. Xét tam giác HCD cóHN=DN;HM=CM 

=> MN là đường trung bình của tam giác HCD => MN//DC

=> DNMC là hình thang

b. Ta có MN là đường trung bình của tam giác HCD => MN=1/2CD

Mà AB=1/2CD => AB =MN

Do MN//CD và AB//CD => AB//MN

Xét tứ giác ABMN có AB//MN; AB=MN

=> ABMN là hình bình hành

c.Ta có MN//CD mà CD vg AD

=> MN vg AD

Xét tam giác ADM có DH và MN là 2 đường cao của tam giác 

Mà chúng cắt nhau tại N nên N là trực tâm của tam giác ADM

=> AN là đường cao của tam giác ADM

=> AN vg DM

Do ABMN là hình bình hành nên AN//BM

=> BM vg DM => BMD =90*

B A M E F D C 1 60 độ

a) - Vì ABCD là hình bình hành(gt)
\(\Rightarrow BC //AD\)và BC=AD
Mà \(E\in BC,F\in AD\)và \(BE=\frac{1}{2}BC,\text{AF}=\frac{1}{2}AD\)(gt)

Nên\(BE//\text{AF}\)và BE=AF
=> ABEF là hình bình hành (1)
Mặt khác AD=2AB(gt)
=>\(AB=\frac{AD}{2}\)

\(\text{AF}=\frac{AD}{2}\left(gt\right)\)

Nên AB=AF(2)
Từ (1) và (2) => ABEF là hình thoi
=> \(AE\perp BF\)
b) Ta có BC//FD(BC//AD,F thuộc AD)
=> BCDF là hình thang (3)
- Vì ABCD là hình bình hành(gt)
Nên \(\widehat{BAD}=\widehat{C}=60^o\)(4)
- Ta có : \(\widehat{B\text{AF}}+\widehat{ABE}=180^0\)(Trong cùng phía,BC//AD)
                          \(\widehat{ABE}=180^0-\widehat{B\text{AF}}\)

                              \(\widehat{ABE}=180^o-60^o=120^o\)

Mà ABEF là hình thoi

=> \(\widehat{B_1}=\widehat{\widehat{\frac{ABE}{2}}=\frac{120^o}{2}=60^o}\)(5)
Từ (4) và (5) => \(\widehat{C}=\widehat{B_1}\)(6)
Từ (3) và (6)
=> BCDF là hình thang cân
c) Vì ABCD là hình bình hành(gt)
Nên AB//CD và AB=CD
Mà M thuộc AB và AB=BM(M đối xứng với A qua B)
=> B là trung điểm của AB

Nên BM//CD và BM=CD

=> BMCD là hình bình hành (7)

- Xét \(\Delta ABF\)có ;
AB=AF(cmt)

=> \(\Delta ABF\)cân tại A
Mà \(\widehat{B\text{AF}}=60^o\)(gt)

Nên \(\Delta ABF\)đều

=> AB=BF=AF
- Xét \(\Delta ABD\)có:
BF là đường trung tuyến ứng với AD (FA=FD)
\(BF=\frac{1}{2}AD\)(BF=FA mà \(FA=\frac{1}{2}AD\))
Nên \(\Delta ABD\)vuông tại B
=> \(\widehat{MBD}=90^0\)(8)
Từ (7) và (8) =>BMCD là hình chữ nhật
Mà E là trung điểm của BC(gt)
Nên E là trung điểm của MD

Hay E,M,D thẳng hàng

Câu hỏi của Yaden Yuki - Toán lớp 8 - Học toán với OnlineMath Em tham khảo bài làm ở link này nhé!