Bài làm

A B C D E F 60 o

Xét tam giác AEB và tam giác DFB có:

\(\widehat{BEA}=\widehat{BFD}=90^0\)

Cạnh huyền AB = BD ( Do ABCD là hình thoi nên AB = AC = CD = BD )

Góc nhọn: \(\widehat{A}=\widehat{D}\)( hai góc đối của hình thoi )

=> Tam giác AEB = tam giác DFB ( cạnh huyền - góc nhọn )

=> BE = BF ( hai cạnh tương ứng )

=> Tam giác BEF cân tại B.

Xét tam giác ABE vuông tại E có:

\(\widehat{A}+\widehat{ABE}=90^0\)( hai góc phụ nhau )

hay \(60^0+\widehat{ABE}=90^0\)

=> \(\widehat{ABE}=90^0-60^0=30^0\)

Mà \(\widehat{ABE}=\widehat{DBF}=30^0\)( Vì tam giác AEB = tam giác DFB )

Ta có: \(\widehat{ABD}+\widehat{BDC}=180^0\)( Do BA // DC và hai góc này là hai góc trong cùng phía bù nhau )

=> \(\widehat{ABE}+\widehat{EBF}+\widehat{FBD}+\widehat{BDC}=180^0\)

hay \(30^0+\widehat{EBF}+30^0+60^0=180^0\)

=> \(\widehat{EBF}=180^0-60^0-30^0-30^0\)

=> \(\widehat{EBF}=60^0\)

Mà tam giác EBF cân tại B ( chứng minh trên )

=> Tam giác EBF là tam giác đều. 

a: ABCD là hình thoi

=>\(\hat{BAD}=\hat{BCD}\)

=>\(\hat{BCD}=60^0\)

ABCD là hình thoi

=>AB=BC=CD=DA

Xét ΔBEA vuông tại E và ΔBFC vuông tại F có

BA=BC

\(\hat{BAE}=\hat{BCF}\)

Do đó: ΔBEA=ΔBFC

=>AE=CF

b: Xét ΔCBD có CB=CD và \(\hat{BCD}=60^0\)

nên ΔBCD đều

ΔBCD đều

mà BF là đường cao

nên BF là phân giác của góc DBC

=>\(\hat{DBF}=\hat{CBF}=\frac12\cdot\hat{DBC}=30^0\)

Xét ΔABD có AB=AD và \(\hat{BAD}=60^0\)

nên ΔABD đều

=>\(\hat{ABD}=\hat{ADB}=60^0\)

ΔBAD đều

mà BE là đường cao

nên BE là phân giác của góc ABD

=>\(\hat{ABE}=\hat{DBE}=\frac12\cdot\hat{ABD}=\frac{60^0}{2}=30^0\)

\(\hat{EBF}=\hat{EBD}+\hat{FBD}\)

\(=30^0+30^0=60^0\)

ΔBEA=ΔBFC

=>BE=BF

Xét ΔBEF có BE=BF và \(\hat{EBF}=60^0\)

nên ΔBEF đều

c: Xét ΔBAM và ΔBCN có

\(\hat{BAM}=\hat{BCN}\) (ΔBAC cân tại B)

BA=BC

\(\hat{ABM}=\hat{CBN}\) (ΔABE=ΔCBF)

Do đó: ΔBAM=ΔBCN

=>AM=CN và BM=BN

ABCD là hình thoi

=>AC là phân giác của góc BAD

=>AM là phân giác của góc BAD

Xét ΔBAM và ΔDAM có

BA=DA
\(\hat{BAM}=\hat{DAM}\)

AM chung

Do đó: ΔBAM=ΔDAM

=>BM=DM

ABCD là hình thoi

=>CA là phân giác của góc BCD

=>CN là phân giác của góc BCD

Xét ΔBCN và ΔDCN có

CB=CD
\(\hat{BCN}=\hat{DCN}\)

CN chung

Do đó: ΔBCN=ΔDCN

=>BN=ND

=>BM=MD=BN=ND

=>BMDN là hình thoi