a: Xét tứ giác AMCN có

AM//CN

AM=CN

Do đó: AMCN là hình bình hành

b:ABCD là hình bình hành

=>AC cắt BD tại trung điểm của mỗi đường

=>O là trung điểm chung của AC và BD

AMCN là hình bình hành

=>AC cắt MN  tại trung điểm của mỗi đường

mà O là trung điểm của AC

nên O là trung điểm của MN

Do ABCD là hình bình hành nên AD //BC hay AN//CM

 a) Do ABCD là hình bình hành (gt)

⇒ AB // CD

⇒ AM // CN

Tứ giác AMCN có:

AM // CN (cmt)

AM = CN (gt)

⇒ AMCN là hình bình hành

⇒ AN // CM

b) Do ABCD là hình bình hành (gt)

O là giao điểm của AC và BD (gt)

⇒ O là trung điểm của AC

Lại có AMCN là hình bình hành

O là trung điểm của AC (cmt)

⇒ O là trung điểm của MN

a: Xét tứ giác AMCP có

AM//CP

AM=CP

Do đó: AMCP là hình bình hành

b: ABCD là hình bình hành

=>AC cắt BD tại trung điểm của mỗi đường

=>O là trung điểm chung của AC và BD

AMCP là hình bình hành

=>AC cắt MP tại trung điểm của mỗi đường

mà O là trung điểm của AC

nên O là trung điểm của MP

c: Ta có: AM+MB=AB

CP+PD=CD

mà AM=CP và AB=CD

nên BM=DP

Ta có: AQ+QD=AD

CN+NB=CB

mà QD=NB và AD=BC

nên AQ=CN

Xét ΔMAQ và ΔPCN có

MA=PC

\(\hat{MAQ}=\hat{PCN}\)

AQ=CN

Do đó: ΔMAQ=ΔPCN

=>MQ=PN

Xét ΔMBN và ΔPDQ có

MB=PD

\(\hat{MBN}=\hat{PDQ}\)

BN=DQ

Do đó: ΔMBN=ΔPDQ

=>MN=PQ

Xét tứ giác MNPQ có

MN=PQ

MQ=PN

Do đó: MNPQ là hình bình hành

d: MNPQ là hình bình hành

=>MP cắt NQ tại trung điểm của mỗi đường

mà O là trung điểm của MP

nên O là trung điểm của NQ

=>AC,BD,NQ,MP đồng quy tại O

A B C D E N F M I

a)  - Xét \(\Delta AME\) và   \(\Delta CNF\) có :

+ AM = CN (GT)

+ \(\widehat{MAE}=\widehat{NCF}\)(GT)

+ AE = CF ( GT ) 

=> \(\Delta AME=\Delta CNF\left(c.g.c\right)\) =>  ME = NF ( 2 cạnh tương ứng bằng nhau )  

- Tương tự , \(\Delta DMF=\Delta BNE\left(c.g.c\right)\) =>  MF = NE ( 2 cạnh tương ứng bằng nhau ) 

- Xét tứ giác EMFN có : 

+ ME = NF

+ MF = NE

=> EMFN là hình bình hành ( 2 cặp cạnh đối bằng nhau )

b) Vì ABCD là Hình bình hành =>  AC cắt BD tại I => I là trung điểm của AC , BD (1)

Tương tự AC cắt EF và  MN tại trung điểm I của AC  (2)

Từ 1 và 2 => EF và MN đều đi qua I

a: Xét ΔBAM và ΔCDN có

BA=CD
\(\hat{ABM}=\hat{CDN}\) (hai góc so le trong, AB//CD)

BM=DN

Do đó: ΔBAM=ΔCDN

=>AM=CN

Xét ΔCBM và ΔADN có

CB=AD
\(\hat{CBM}=\hat{ADN}\)

BM=DN

Do đó: ΔCBM=ΔADN

=>CM=AN

Xét tứ giác AMCN có

AM=CN

AN=CM

Do đó; AMCN là hình bình hành

b: Xét tứ giác AKCH có

AK//CH

AH//CK

Do đó: AKCH là hình bình hành

=>AC cắt KH tại trung điểm của mỗi đường(1)

AMCN là hình bình hành

=>AC cắt NM tại trung điểm của mỗi đường

mà O là trung điểm của MN

nên O là trung điểm của AC

mà AC cắt KH tại trung điểm của mỗi đường

nên O là trung điểm của KH

=>K,O,H thẳng hàng

a: Xét tứ giác AMCN có 

AM//CN

AM=CN

Do đó: AMCN là hình bình hành

Cho hình bình hành \(A B C D\).
Trên cạnh \(A B\) và \(C D\) lấy lần lượt \(M , N\) sao cho

\(A M = C N .\)

a) Chứng minh rằng \(A M C N\) là hình bình hành.

b) Gọi \(O\) là giao điểm của \(A C\) và \(M N\). Chứng minh \(O\) là trung điểm của \(A C\).

GIẢI

a) Chứng minh \(A M C N\) là hình bình hành

• Vì \(A B C D\) là hình bình hành nên:

\(A B \parallel C D\)

• \(M \in A B , \&\text{nbsp}; N \in C D\)
  ⇒ \(A M \parallel C N\)
• Theo giả thiết:

\(A M = C N\)

- Tứ giác \(A M C N\) có một cặp cạnh đối vừa song song vừa bằng nhau
⟹ \(A M C N\) là hình bình hành.

b) Chứng minh \(O\) là trung điểm của \(A C\)

• Vì \(A M C N\) là hình bình hành nên:
• • Hai đường chéo \(A C\) và \(M N\) cắt nhau tại trung điểm mỗi đường.
• \(O\) là giao điểm của \(A C\) và \(M N\)

\(O A = O C\)

⟹ \(O\) là trung điểm của \(A C\).

KẾT LUẬN

a) \(A M C N\) là hình bình hành
b) \(O\) là trung điểm của \(A C\)