\(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{MD}\)

\(=\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OD}\)

\(=4\overrightarrow{MO}+\left(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC}\right)+\left(\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OD}\right)=4\overrightarrow{MO}\)

(Do \(\overrightarrow{OA}=-\overrightarrow{OC};\overrightarrow{OB}=-\overrightarrow{OD}\))

A B C D O

a: Sửa đề: O là trung điểm của IJ

Xét ΔOAB có OI là đường trung tuyến

nên \(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}=2\cdot\overrightarrow{OI}\)

Xét ΔOCD có OJ là đường trung tuyến

nên \(\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}=2\cdot\overrightarrow{OJ}\)

\(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}\)

\(=2\cdot\overrightarrow{OI}+2\cdot\overrightarrow{OJ}=2\left(\overrightarrow{OI}+\overrightarrow{OJ}\right)=2\cdot\overrightarrow{0}=\overrightarrow{0}\)

b: \(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{MD}\)

\(=\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OD}\)

\(=4\cdot\overrightarrow{MO}+\left(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{MD}\right)=4\cdot\overrightarrow{MO}\)

c: \(\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD}\)

\(=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BC}\)

\(=\overrightarrow{AI}+\overrightarrow{IJ}+\overrightarrow{JD}+\overrightarrow{BI}+\overrightarrow{IJ}+\overrightarrow{JC}\)

\(=2\cdot\overrightarrow{IJ}+\left(\overrightarrow{AI}+\overrightarrow{BI}\right)+\left(\overrightarrow{JD}+\overrightarrow{JC}\right)=2\cdot\overrightarrow{IJ}\)

\(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MD}\)

\(\Leftrightarrow\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{MD}-\overrightarrow{MC}\)

\(\Leftrightarrow\overrightarrow{BM}+\overrightarrow{MA}=\overrightarrow{CM}+\overrightarrow{MD}\)

\(\Leftrightarrow\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{CD}\) (luôn đúng do ABCD là hbh)

Vậy giả thiết ban đầu đúng hay \(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MD}\)