Cho hàm số f (x) có đạo hàm cấp hai liên tục trên đoạn [0;1] thoả mãn  $[f\text{'}(x){]}^2+f(x)f\text{'}\text{'}(x)\ge 1,\forall x\in [0;1]$ và $f^2\left(0\right)+f\left(0\right).f^{\text{'}}\left(0\right)=\frac{3}{2}$. Giá trị nhỏ nhất của tích phân  ${\int }_0^1{f}^2\left(x\right)dx$ bằng

Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên đoạn [0;1], f(x) và f' (x) đều nhận giá trị dương trên đoạn [0;1] và thỏa mãn f(0)=2, ${\int }_0^1{\mathrm{f}}^{\text{'}}\left(\mathrm{x}\right).\left[\mathrm{f}\right(\mathrm{x}){]}^2+1]\mathrm{dx}=2{\int }_0^1\sqrt{{\mathrm{f}}^{\text{'}}\left(\mathrm{x}\right)}.\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{dx}.$ Tính ${\int }_0^1\left[\mathrm{f}\right(\mathrm{x}){]}^3\mathrm{dx}?$

Cho hàm số f (x) có đạo hàm liên tục trên đoạn [0;1] thỏa mãn f(1)=1 và $\left(f^{\text{'}}\right(x){)}^2+4(6x^2-1\left)f\right(x)$ $=40x^6-44x^4+32x^2-4$, $\forall x\in [0;1]$. Tích phân  ${\int }_0^{1}f\left(x\right)dx$ bằng

Cho hàm số f(x) có đạo hàm dương, liên tục trên đoạn [0;1] thỏa mãn điều kiện f(0)=1 và $3{\int }_0^1\left[\right(f\text{'}\left(x\right).f{\left(x\right))}^2+\frac{1}{9}]dx\le 2{\int }_0^1\sqrt{f\text{'}\left(x\right)}.f(x)dx$. Tính ${\int }_0^1{\left[f\right(x\left)\right]}^3$ 

Cho hàm số f (x) nhận giá trị dương, có đạo hàm liên tục trên khoảng  $(0;+\infty )$ thỏa mãn  $\frac{2f^{\text{'}}\left(x\right)}{\left(f\right(x){)}^2}=\frac{f\left(x\right)(x+2)}{x^3}$ , $\forall x>0$ và $f\left(1\right)=\frac{1}{\sqrt{3}}$. Tích phân  ${\int }_1^2\frac{1}{\left(f\right(x){)}^2}dx$ bằng

Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên đoạn [0;1] thỏa mãn f(1)=0,   ${\int }_0^1{\left[f\text{'}\left(x\right)\right]}^{2}dx=7$ và ${\int }_0^1{x}^{2}f\left(x\right)dx=\frac{1}{3}$. Tích phân ${\int }_0^{1}f\left(x\right)dx$ bằng

Cho hàm số f(x) có đạo hàm dương, liên tục trên đoạn [0; 1] thỏa mãn điều kiện f(0)=1 và $3{\int }_0^1\left[\right(f\text{'}\left(x\right).f{\left(x\right))}^2+\frac{1}{9}\le 2{\int }_0^1\sqrt{f\text{'}\left(x\right)}.f\left(x\right)dx$. Tính ${\int }_0^1 {\left[f\right(x\left)\right]}^3$ 

Cho hàm số f (x) có đạo hàm cấp hai liên tục trên đoạn [0;1] thoả mãn  ${\left[f\text{'}\left(x\right)\right]}^2+f\left(x\right)f\text{'}\text{'}\left(x\right)\ge 1$  $\forall m\in \left[0;1\right]$và  $f^2\left(0\right)+f\left(0\right).f\text{'}\left(0\right)=\frac{3}{2}$ Giá trị nhỏ nhất của tích phân  ${\int }_0^1{f}^2\left(x\right)dx$ bằng

Cho hàm số f (x) có đạo hàm liên tục trên đoạn [1;2] thỏa mãn ${\int }_1^2{(x-1)}^2 f\left(x\right)dx=-\frac{1}{3}$, f(2) = 0 và ${\int }_1^2{\left[f\text{'}\left(x\right)\right]}^{2}dx=7$. Tính tích phân ${\int }_1^{2}f\left(x\right)dx$