Lời giải:

PT hoành độ giao điểm:

$x^2-2mx-(2m+1)=0(*)$

Để (P) và (d) cắt nhau tại 2 điểm pb có hoành độ $x_1,x_2$ thì PT $(*)$ phải có 2 nghiệm pb $x_1,x_2$

$\Leftrightarrow \Delta'=m^2+2m+1>0\Leftrightarrow (m+1)^2>0$

$\Leftrightarrow m\neq -1$
Áp dụng định lý Viet: $x_1+x_2=2m; x_1x_2=-(2m+1)$

Khi đó:

$\sqrt{x_1+x_2}+\sqrt{3+x_1x_2}=2m+1$

$\Leftrightarrow \sqrt{2m}+\sqrt{3-2m-1}=2m+1$
\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 0\leq m< 1\\ \sqrt{2m}+\sqrt{2(1-m)}=2m+1\end{matrix}\right.\)

Bình phương 2 vế dễ dàng giải ra $m=\frac{1}{2}$ (thỏa)

Phương trình hoành độ giao điểm là:

\(x^2=4x-2m+1\)

=>\(x^2-4x+2m-1=0\)

\(\Delta=\left(-4\right)^2-4\left(2m-1\right)=16-8m+4=-8m+20\)

Để phương trình có hai nghiệm phân biệt thì -8m+20>0

=>-8m>-20

=>m<2,5

Theo Vi-et, ta có: \(\begin{cases}x_1+x_2=-\frac{b}{a}=4\\ x_1x_2=\frac{c}{a}=2m-1\end{cases}\)

\(4x_1x_2=4\left(2m-1\right)\)

\(\left(\left|x_1\right|+\left|x_2\right|\right)^2=x_1^2+x_2^2+2\cdot\left|x_1x_2\right|\)

\(=\left(x_1+x_2\right)^2-2\cdot x_1\cdot x_2+2\cdot\left|x_1x_2\right|\)

\(=4^2-2\left(2m-1\right)+2\left|2m-1\right|=16-2\left(2m-1\right)+2\left|2m-1\right|\)

TH1: \(m\ge\frac12\)

=>\(\left(\left|x_1\right|+\left|x_2\right|\right)^2=16-2\left(2m-1\right)+2\left(2m-1\right)=16\)

=>\(\left|x_1\right|+\left|x_2\right|=4\)

Ta có: \(\left|x_1\right|+\left|x_2\right|+4x_1x_2\ge10\)

=>4+4(2m-1)>=10

=>4(2m-1)>=6

=>2m-1>=3/2

=>\(2m\ge\frac52\)

=>\(m\ge\frac54\) (nhận)

TH2: \(m<\frac12\)

\(\left(\left|x_1\right|+\left|x_2\right|\right)^2=16-2\left(2m-1\right)+2\left|2m-1\right|\)

\(=16-2\left(2m-1\right)-2\left(2m-1\right)=16-4\left(2m-1\right)\)

=>\(\left|x_1\right|+\left|x_2\right|=\sqrt{16-4\left(2m-1\right)}=\sqrt{4\cdot\left(4-2m+1\right)}=2\cdot\sqrt{5-2m}\)

Ta có: \(\left|x_1\right|+\left|x_2\right|+4x_1x_2\ge10\)

=>\(2\cdot\sqrt{5-2m}\) +4(2m-1)>=10

=>\(\sqrt{5-2m}+2\left(2m-1\right)\ge10\)

=>\(\sqrt{5-2m}+4m-2-10\ge0\)

=>\(\sqrt{5-2m}\ge-4m+12\)

TH1: -4m+12<=0

=>-4m<=-12

=>m>=3(loại)

TH2: -4m+12>=0

=>-4m>=-12

=>m<=3

=>\(\frac12\le m\le3\)

Ta có: \(\sqrt{5-2m}\ge-4m+12\)

=>\(5-2m\ge\left(-4m+12\right)^2\)

=>\(16m^2-96m+144+2m-5\le0\)

=>\(16m^2-94m+139\le0\) (1)

\(\Delta=\left(-94\right)^2-4\cdot16\cdot139=8836-8896=-60<0\)

Vì Δ<0 và a=16>0

nên \(16m^2-94m+139>0\forall m\)

=>(1) vô nghiệm

Vậy: \(m\ge\frac54\)

Phương trình hoành độ giao điểm là:

\(x^2=4x-2m+1\)

=>\(x^2-4x+2m-1=0\)

\(\Delta=\left(-4\right)^2-4\left(2m-1\right)=16-8m+4=-8m+20\)

Để phương trình có hai nghiệm phân biệt thì -8m+20>0

=>-8m>-20

=>m<2,5

Theo Vi-et, ta có: \(\begin{cases}x_1+x_2=-\frac{b}{a}=4\\ x_1x_2=\frac{c}{a}=2m-1\end{cases}\)

\(4x_1x_2=4\left(2m-1\right)\)

\(\left(\left|x_1\right|+\left|x_2\right|\right)^2=x_1^2+x_2^2+2\cdot\left|x_1x_2\right|\)

\(=\left(x_1+x_2\right)^2-2\cdot x_1\cdot x_2+2\cdot\left|x_1x_2\right|\)

\(=4^2-2\left(2m-1\right)+2\left|2m-1\right|=16-2\left(2m-1\right)+2\left|2m-1\right|\)

TH1: \(m\ge\frac12\)

=>\(\left(\left|x_1\right|+\left|x_2\right|\right)^2=16-2\left(2m-1\right)+2\left(2m-1\right)=16\)

=>\(\left|x_1\right|+\left|x_2\right|=4\)

Ta có: \(\left|x_1\right|+\left|x_2\right|+4x_1x_2\ge10\)

=>4+4(2m-1)>=10

=>4(2m-1)>=6

=>2m-1>=3/2

=>\(2m\ge\frac52\)

=>\(m\ge\frac54\) (nhận)

TH2: \(m<\frac12\)

\(\left(\left|x_1\right|+\left|x_2\right|\right)^2=16-2\left(2m-1\right)+2\left|2m-1\right|\)

\(=16-2\left(2m-1\right)-2\left(2m-1\right)=16-4\left(2m-1\right)\)

=>\(\left|x_1\right|+\left|x_2\right|=\sqrt{16-4\left(2m-1\right)}=\sqrt{4\cdot\left(4-2m+1\right)}=2\cdot\sqrt{5-2m}\)

Ta có: \(\left|x_1\right|+\left|x_2\right|+4x_1x_2\ge10\)

=>\(2\cdot\sqrt{5-2m}\) +4(2m-1)>=10

=>\(\sqrt{5-2m}+2\left(2m-1\right)\ge10\)

=>\(\sqrt{5-2m}+4m-2-10\ge0\)

=>\(\sqrt{5-2m}\ge-4m+12\)

TH1: -4m+12<=0

=>-4m<=-12

=>m>=3(loại)

TH2: -4m+12>=0

=>-4m>=-12

=>m<=3

=>\(\frac12\le m\le3\)

Ta có: \(\sqrt{5-2m}\ge-4m+12\)

=>\(5-2m\ge\left(-4m+12\right)^2\)

=>\(16m^2-96m+144+2m-5\le0\)

=>\(16m^2-94m+139\le0\) (1)

\(\Delta=\left(-94\right)^2-4\cdot16\cdot139=8836-8896=-60<0\)

Vì Δ<0 và a=16>0

nên \(16m^2-94m+139>0\forall m\)

=>(1) vô nghiệm

Vậy: \(m\ge\frac54\)

Phương trình hoành độ giao điểm là:

\(x^2=4x-2m+1\)

=>\(x^2-4x+2m-1=0\)

\(\Delta=\left(-4\right)^2-4\left(2m-1\right)=16-8m+4=-8m+20\)

Để phương trình có hai nghiệm phân biệt thì -8m+20>0

=>-8m>-20

=>m<2,5

Theo Vi-et, ta có: \(\begin{cases}x_1+x_2=-\frac{b}{a}=4\\ x_1x_2=\frac{c}{a}=2m-1\end{cases}\)

\(4x_1x_2=4\left(2m-1\right)\)

\(\left(\left|x_1\right|+\left|x_2\right|\right)^2=x_1^2+x_2^2+2\cdot\left|x_1x_2\right|\)

\(=\left(x_1+x_2\right)^2-2\cdot x_1\cdot x_2+2\cdot\left|x_1x_2\right|\)

\(=4^2-2\left(2m-1\right)+2\left|2m-1\right|=16-2\left(2m-1\right)+2\left|2m-1\right|\)

TH1: \(m\ge\frac12\)

=>\(\left(\left|x_1\right|+\left|x_2\right|\right)^2=16-2\left(2m-1\right)+2\left(2m-1\right)=16\)

=>\(\left|x_1\right|+\left|x_2\right|=4\)

Ta có: \(\left|x_1\right|+\left|x_2\right|+4x_1x_2\ge10\)

=>4+4(2m-1)>=10

=>4(2m-1)>=6

=>2m-1>=3/2

=>\(2m\ge\frac52\)

=>\(m\ge\frac54\) (nhận)

TH2: \(m<\frac12\)

\(\left(\left|x_1\right|+\left|x_2\right|\right)^2=16-2\left(2m-1\right)+2\left|2m-1\right|\)

\(=16-2\left(2m-1\right)-2\left(2m-1\right)=16-4\left(2m-1\right)\)

=>\(\left|x_1\right|+\left|x_2\right|=\sqrt{16-4\left(2m-1\right)}=\sqrt{4\cdot\left(4-2m+1\right)}=2\cdot\sqrt{5-2m}\)

Ta có: \(\left|x_1\right|+\left|x_2\right|+4x_1x_2\ge10\)

=>\(2\cdot\sqrt{5-2m}\) +4(2m-1)>=10

=>\(\sqrt{5-2m}+2\left(2m-1\right)\ge10\)

=>\(\sqrt{5-2m}+4m-2-10\ge0\)

=>\(\sqrt{5-2m}\ge-4m+12\)

TH1: -4m+12<=0

=>-4m<=-12

=>m>=3(loại)

TH2: -4m+12>=0

=>-4m>=-12

=>m<=3

=>\(\frac12\le m\le3\)

Ta có: \(\sqrt{5-2m}\ge-4m+12\)

=>\(5-2m\ge\left(-4m+12\right)^2\)

=>\(16m^2-96m+144+2m-5\le0\)

=>\(16m^2-94m+139\le0\) (1)

\(\Delta=\left(-94\right)^2-4\cdot16\cdot139=8836-8896=-60<0\)

Vì Δ<0 và a=16>0

nên \(16m^2-94m+139>0\forall m\)

=>(1) vô nghiệm

Vậy: \(m\ge\frac54\)

Xét pt tọa độ giao điểm:

X²=(m+4)x-2m-5

<=> -x²+(m+4)x-2m-5

a=-1.   b= m+4.  c=2m-5

Để pt có 2 No pb =>∆>0

=> (m+4)²-4×(-1)×2m-5>0

=> m² +2×m×4+16 +8m-20>0

=> m²+9m -2>0

=> x<-9 và x>0

Theo Cô si       4x+\frac{1}{4x}\ge24x+4x1​≥2  , đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi   4x=\frac{1}{4x}=1\Leftrightarrow x=\frac{1}{4}4x=4x1​=1⇔x=41​). Do đó

                                         A\ge2-\frac{4\sqrt{x}+3}{x+1}+2016A≥2−x+14x​+3​+2016

                                        A\ge4-\frac{4\sqrt{x}+3}{x+1}+2014A≥4−x+14x​+3​+2014

                                        A\ge\frac{4x-4\sqrt{x}+1}{x+1}+2014=\frac{\left(2\sqrt{x}-1\right)^2}{x+1}+2014\ge2014A≥x+14x−4x​+1​+2014=x+1(2x​−1)2​+201