4687jf$^

a) Lập bảng biến thiên của hàm số trên đoạn \(\left[\right. - \frac{\pi}{2} , \frac{\pi}{2} \left]\right.\)

1. Tập xác định:

Hàm số xác định với mọi \(x \in \mathbb{R}\), nên trên đoạn \(\left[\right. - \frac{\pi}{2} , \frac{\pi}{2} \left]\right.\) thì hàm hoàn toàn xác định.

2. Đạo hàm:

Ta cần xét đạo hàm để lập bảng biến thiên:

\(f \left(\right. x \left.\right) = 2 sin ⁡ \left(\right. 2 x \left.\right) \Rightarrow f^{'} \left(\right. x \left.\right) = 2 \cdot \frac{d}{d x} \left[\right. sin ⁡ \left(\right. 2 x \left.\right) \left]\right. = 2 \cdot 2 cos ⁡ \left(\right. 2 x \left.\right) = 4 cos ⁡ \left(\right. 2 x \left.\right)\)

3. Xét dấu của đạo hàm trên đoạn \(\left[\right. - \frac{\pi}{2} , \frac{\pi}{2} \left]\right.\):

• \(f^{'} \left(\right. x \left.\right) = 4 cos ⁡ \left(\right. 2 x \left.\right)\)
• Ta xét dấu của \(cos ⁡ \left(\right. 2 x \left.\right)\) trên đoạn \(\left[\right. - \frac{\pi}{2} , \frac{\pi}{2} \left]\right.\)

Bảng xét dấu của \(cos ⁡ \left(\right. 2 x \left.\right)\):

Biến đổi đoạn \(\left[\right. - \frac{\pi}{2} , \frac{\pi}{2} \left]\right.\) thành:

• Khi \(x = - \frac{\pi}{2} \Rightarrow 2 x = - \pi \Rightarrow cos ⁡ \left(\right. 2 x \left.\right) = cos ⁡ \left(\right. - \pi \left.\right) = - 1\)
• Khi \(x = 0 \Rightarrow cos ⁡ \left(\right. 2 x \left.\right) = cos ⁡ \left(\right. 0 \left.\right) = 1\)
• Khi \(x = \frac{\pi}{2} \Rightarrow 2 x = \pi \Rightarrow cos ⁡ \left(\right. 2 x \left.\right) = cos ⁡ \left(\right. \pi \left.\right) = - 1\)

➡ \(cos ⁡ \left(\right. 2 x \left.\right)\) dương trên khoảng \(\left(\right. - \frac{\pi}{4} , \frac{\pi}{4} \left.\right)\), âm ở hai bên.

Kết luận về tính đơn điệu của hàm số:

• Hàm giảm trên \(\left[\right. - \frac{\pi}{2} , - \frac{\pi}{4} \left]\right.\)
• Hàm tăng trên \(\left[\right. - \frac{\pi}{4} , \frac{\pi}{4} \left]\right.\)
• Hàm giảm trên \(\left[\right. \frac{\pi}{4} , \frac{\pi}{2} \left]\right.\)

4. Tính giá trị tại các điểm đặc biệt:

• \(f \left(\right. - \frac{\pi}{2} \left.\right) = 2 sin ⁡ \left(\right. - \pi \left.\right) = 0\)
• \(f \left(\right. - \frac{\pi}{4} \left.\right) = 2 sin ⁡ \left(\right. - \frac{\pi}{2} \left.\right) = 2 \left(\right. - 1 \left.\right) = - 2\)
• \(f \left(\right. 0 \left.\right) = 2 sin ⁡ \left(\right. 0 \left.\right) = 0\)
• \(f \left(\right. \frac{\pi}{4} \left.\right) = 2 sin ⁡ \left(\right. \frac{\pi}{2} \left.\right) = 2 \left(\right. 1 \left.\right) = 2\)
• \(f \left(\right. \frac{\pi}{2} \left.\right) = 2 sin ⁡ \left(\right. \pi \left.\right) = 0\)

b) Vẽ đồ thị hàm số \(y = 2 sin ⁡ \left(\right. 2 x \left.\right)\) trên đoạn \(\left[\right. - \frac{\pi}{2} , \frac{\pi}{2} \left]\right.\)

1. Một số điểm đặc biệt trên đồ thị:

• \(x = - \frac{\pi}{2} \Rightarrow y = 0\)
• \(x = - \frac{\pi}{4} \Rightarrow y = - 2\)
• \(x = 0 \Rightarrow y = 0\)
• \(x = \frac{\pi}{4} \Rightarrow y = 2\)
• \(x = \frac{\pi}{2} \Rightarrow y = 0\)

2. Đặc điểm của đồ thị:

• Dạng sóng hình sin, nhưng bị nén theo trục hoành (vì có hệ số 2 trong sin(2x))
• Biên độ: 2
• Chu kỳ: \(T = \frac{2 \pi}{2} = \pi\)
• Trên đoạn \(\left[\right. - \frac{\pi}{2} , \frac{\pi}{2} \left]\right.\), ta thấy đúng nửa chu kỳ

👉 Cách vẽ đồ thị (gợi ý):

1. Vẽ trục tọa độ \(O x y\)
2. Đánh dấu các điểm:
3. • \(\left(\right. - \frac{\pi}{2} , 0 \left.\right)\)
   • \(\left(\right. - \frac{\pi}{4} , - 2 \left.\right)\)
   • \(\left(\right. 0 , 0 \left.\right)\)
   • \(\left(\right. \frac{\pi}{4} , 2 \left.\right)\)
   • \(\left(\right. \frac{\pi}{2} , 0 \left.\right)\)
4. Nối các điểm bằng đường cong mềm mại (dạng sóng sin)
5. Chú thích các giá trị lớn nhất, nhỏ nhất (2 và -2), các điểm uốn tại \(x = 0\)