Cho hàm số f(x) liên tục trên \(ℝ\backslash\left\{0;-1\right\}\)thỏa mãn \(x\left(x+1\right)\cdot f'\left(x\right)+f\left(x\right)=x^2+x\) với mọi \(x\inℝ\backslash\left\{0;-1\right\}\)và \(f\left(1\right)=-2ln2\).Biết \(f\left(2\right)=a+bln3\)với \(a,b\inℚ\).Tính \(P=a^2+b^2\)

Biết f(x) là hàm số liên tục trên $\mathrm{ℝ}$, a là số thực thỏa mãn  $0<a<\pi$ và  ${\int }_0^{a}f\left(x\right)dx={\int }_0^{\pi }f\left(x\right)dx=1$. Tính tích phân  ${\int }_0^{\pi }f\left(x\right)dx$ bằng:

Cho hàm số y=f(x) liên tục trên  $\mathrm{ℝ}$ và có đồ thị như hình bên. Phương trình f( 2 sin x) = m có đúng ba nghiệm phân biệt thuộc đoạn  $\left[-\mathrm{\pi };\mathrm{\pi }\right]$ khi và chỉ khi

Câu 41: Cho hàm số \(f\left(x\right)\) liên tục trên R và thoả mãn \(f\left(0\right)=0\) và \(f\left(x\right)f’\left(\frac{1}{x^2+1}\right)\left(x^2+1\right)=2x^4+4x^3+4x^2+8x\). Tính \(\int\limits^3_0f\left(x\right)dx\)

a) 0 b) 18 c) \(\frac{117}{4}\) d) 15

Kiểm tra xem hàm số nào là một nguyên hàm của hàm số còn lại trong mỗi cặp số sau :

a) \(f\left(x\right)=\ln\left(x+\sqrt{1+x^2}\right)\) và \(g\left(x\right)=\dfrac{1}{\sqrt{1+x^2}}\)

b) \(f\left(x\right)=e^{\sin x}\cos x\) và \(g\left(x\right)=e^{\sin x}\)

c) \(f\left(x\right)=\sin^2\dfrac{1}{x}\) và \(g\left(x\right)=-\dfrac{1}{x^2}\sin\dfrac{2}{x}\)

d) \(f\left(x\right)=\dfrac{x-1}{\sqrt{x^2-2x+2}}\) và \(g\left(x\right)=\sqrt{x^2-2x+2}\)

e) \(f\left(x\right)=x^2e^{\dfrac{1}{x}}\) và \(g\left(x\right)=\left(2x-2\right)e^{\dfrac{1}{x}}\)

1.Cho f(x) xác định có đạo hàm, liên tục đồng biến trên [1;4] thỏa mãn x + 2x\(f\)(x) = [\(f'\)(x)]² ,\(\forall\) x \(\in\) [1;4], \(f\)(1) = \(\frac{3}{2}\). Giá trị \(f\)(4) bằng: A.\(\frac{381}{18}\) B.\(\frac{371}{18}\) C.\(\frac{391}{18}\) D.\(\frac{361}{18}\)

2.Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số y = \(\sin\)|x| và y = |x| - \(\pi\) là S = a + b\(\pi^2\)thì giá trị 2a + b\(^3\):

A.9 B.\(\frac{9}{8}\) C.\(\frac{33}{8}\) D.24

3.Nguyên hàm của hàm số \(f\)(x) = 2x + \(\frac{1}{\sin^2x}\) thỏa mãn F(\(\frac{\pi}{4}\)) = -1 là: A. F(x) = -cotx + x\(^2\) - \(\frac{\pi^2}{4}\) B.F(x) = cotx - x\(^2\) + \(\frac{\pi^2}{16}\) C. F(x) = -cotx + \(x^2\) D.F(x) = -cotx + x\(^2\) - \(\frac{\pi^2}{16}\)

Trong các hàm số dưới đây, hàm số nào là một nguyên hàm của hàm số : \(f\left(x\right)=\dfrac{1}{1+\sin x}?\)

a) \(F\left(x\right)=1-\cos\left(\dfrac{\pi}{2}+\dfrac{\pi}{4}\right)\)

b) \(G\left(x\right)=2\tan\dfrac{x}{2}\)

c) \(H\left(x\right)=\ln\left(1+\sin x\right)\)

d) \(K\left(x\right)=2\left(1-\dfrac{1}{1+\tan\dfrac{x}{2}}\right)\)

Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên đoạn $\left[0;\mathrm{\pi }\right]$ thỏa mãn: ${\int }_0^{\mathrm{\pi }}\left[f\text{'}\left(x\right)\right]dx=$ ${\int }_0^{\mathrm{\pi }}\cos x.f\left(x\right)dx=\mathrm{\pi }/2$ và $\mathrm{f}\left(\mathrm{\pi }/2\right)=1$. Khi đó tích phân ${\int }_0^{\mathrm{\pi }/2}f\left(x\right)dx$ bằng