b: (d) là tiếp tuyến của \(\left(O;\sqrt2\right)\)

=>\(d\left(O;\left(d\right)\right)=\sqrt2\)

y=(m-2)x+m+3

=>(m-2)x-y+m+3=0

Khoảng cách từ O đến (d) là:

\(\frac{\left|0\cdot\left(m-2\right)+0\cdot\left(-1\right)+m+3\right|}{\sqrt{\left(m-2\right)^2+\left(-1\right)^2}}=\frac{\left|m+3\right|}{\sqrt{\left(m-2\right)^2+1}}\)

=>\(\frac{\left|m+3\right|}{\sqrt{\left(m-2\right)^2+1}}=\sqrt2\)

=>\(\sqrt{\frac{\left(m+3\right)^2}{\left(m-2\right)^2+1}}=\sqrt2\)

=>\(\frac{\left(m+3\right)^2}{\left(m-2\right)^2+1}=2\)

=>\(2\left(m-2\right)^2+2=\left(m+3\right)^2\)

=>\(2m^2-8m+8+2-m^2-6m-9=0\)

=>\(m^2-14m+1=0\)

=>\(m^2-14m+49-48=0\)

=>\(\left(m-7\right)^2=48\)

=>\(\left[\begin{array}{l}m-7=4\sqrt3\\ m-7=-4\sqrt3\end{array}\right.\Rightarrow\left[\begin{array}{l}m=4\sqrt3+7\\ m=-4\sqrt3+7\end{array}\right.\)

c: Phương trình hoành độ giao điểm là:

(m-2)x+m+3=-2x+1

=>(m-2)x+m+3+2x-1=0

=>x(m-2+2)+m+2=0

=>mx+m+2=0

=>\(mx=-m-2\)

=>\(x=\frac{-m-2}{m}\)

\(y=-2x+1=-2\cdot\frac{-m-2}{m}+1=\frac{2m+4}{m}+1=\frac{3m+4}{m}\)

Để B thuộc góc phần tư thứ nhất thì x>0 và y>0

=>\(\begin{cases}\frac{3m+4}{m}>0\\ \frac{-m-2}{m}>0\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}\frac{3m+4}{m}>0\\ \frac{m+2}{m}<0\end{cases}\)

\(\frac{3m+4}{m}>0\)

=>m>0 hoặc m<-4/3(1)

\(\frac{m+2}{m}<0\)

=>-2<m<0(2)

Từ (1),(2) suy ra -2<m<-4/3

Vì đường thẳng (d) cắt Oy tại điểm có tung độ bằng 8

Nên m+3=8⇔ m=5

Theo pt hoành độ giao điểm của (d) và (P)

Ta có:\(x^2=2x+8\)

⇔\(x^2-2x-8=0\)

\(\Delta'=\left(-1\right)^2-\left(-8\right)=9\)

\(\sqrt{\Delta'}=\sqrt{9}=3>0\)

Vậy pt có 2 nghiệm pb

x₁₌\(\dfrac{1+3}{1}=4\)

x₂=\(\dfrac{1-3}{1}=-2\)

Với x =4 thì y=x²=4²=16

Với x =-2 thì y=x²=(-2)²=4

Vậy ......

Mọi người ơi giúp mình với😭

a: 

b: Để (d)//(d') thì \(\left\{{}\begin{matrix}m+1=2\\6< >-2\left(đúng\right)\end{matrix}\right.\)

=>m+1=2

=>m=1

c:

(d'): y=(m+1)x+6

=>(m+1)x-y+6=0

Khoảng cách từ O đến (d') là:

\(d\left(O;\left(d'\right)\right)=\dfrac{\left|0\cdot\left(m+1\right)+0\cdot\left(-1\right)+6\right|}{\sqrt{\left(m+1\right)^2+\left(-1\right)^2}}\)

\(=\dfrac{6}{\sqrt{\left(m+1\right)^2+1}}\)

Để \(d\left(O;\left(d'\right)\right)=3\sqrt{2}\) thì \(\dfrac{6}{\sqrt{\left(m+1\right)^2+1}}=3\sqrt{2}\)

=>\(\sqrt{\left(m+1\right)^2+1}=\sqrt{2}\)

=>\(\left(m+1\right)^2+1=2\)

=>\(\left(m+1\right)^2=1\)

=>\(\left[{}\begin{matrix}m+1=1\\m+1=-1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m=0\\m=-2\end{matrix}\right.\)

Phương trình hoành độ giao điểm là:

\(x^2-2x-m^2-m+3=0\)

\(\Delta=\left(-2\right)^2-4\cdot1\cdot\left(-m^2-m+3\right)\)

\(=4+4m^2+4m-12=4m^2+4m-8\)

\(=4\left(m+2\right)\left(m-1\right)\)

Để (P) tiếp xúc với (d) thì (m+2)(m-1)=0

=>m=-2(loại) hoặc m=1(nhận)

Vì đường thẳng (d) cắt Oy tại điểm có tung độ bằng 8

Nên m+3=8⇔ m=5

Theo pt hoành độ giao điểm của (d) và (P)

Ta có:$x^2=2x+8$

⇔$x^2-2x-8=0$

${\Delta }^{\prime }={\left(-1\right)}^2-\left(-8\right)=9$

$\sqrt{{\Delta }^{\prime }}=\sqrt{9}=3>0$

Vậy pt có 2 nghiệm pb

x₁₌$\frac{1+3}{1}=4$

x₂=$\frac{1-3}{1}=-2$

Với x =4 thì y=x²=4²=16

Với x =-2 thì y=x²=(-2)²=4