a: Xét ΔOAC có OA=OC=AC(=R)

nên ΔOAC đều

b: Xét (O) co

ΔACB nội tiếp

AB là đường kính

Do đó: ΔCAB vuông tại C

=>CA⊥CB

Xét ΔCAB vuông tại C có CH là đường cao

nên \(CH^2=HA\cdot HB\)

c: Bổ sung đề; Qua B vẽ tiếp tuyến với (O) cắt OK tại D. Chứng minh CD là tiếp tuyến của (O)

ΔOBC cân tại O

mà OK là đường trung tuyến

nên OK là phân giác của góc BOC

Xét ΔBOD và ΔCOD có

OB=OC

\(\hat{BOD}=\hat{COD}\)

OD chung

Do đó: ΔOBD=ΔOCD

=>\(\hat{OBD}=\hat{OCD}\)

=>\(\hat{OCD}=90^0\)

=>DC là tiếp tuyến tại C

d: Gọi F là giao điểm của CB và AE

ΔACB vuông tại C

=>CA⊥CB tại C

=>CA⊥CF tại C

=>ΔACF vuông tại C

Ta có: CH⊥AB

FA⊥BA

Do đó: CH//FA

Xét ΔBAE có IH//AE
nên \(\frac{IH}{AE}=\frac{BI}{BE}\) (1)

Xét ΔBEF có CI//EF

nên \(\frac{CI}{EF}=\frac{BI}{BE}\) (2)

Từ (1),(2) suy ra \(\frac{IH}{AE}=\frac{CI}{EF}\)

mà IH=IC

nên AE=EF

=>E là trung điểm của AF

ΔACF vuông tại C

mà CE là đường trung tuyến

nên CE=EA=EF=AF/2

Xét ΔOAE và ΔOCE có

OA=OC

AE=CE

OE chung

Do đó: ΔOAE=ΔOCE

=>EA=EC và \(\hat{EOA}=\hat{EOC}\)

\(\hat{EOA}=\hat{EOC}\)

=>OE là phân giác của góc AOC

ΔOCD=ΔOBD

=>CD=BD

ΔOAE=ΔOCE

=>\(\hat{OAE}=\hat{OCE}\)

=>\(\hat{OCE}=90^0\)

TA có: \(\hat{OCE}+\hat{OCD}=\hat{ECD}\)

=>\(\hat{ECD}=90^0+90^0=180^0\)

=>E,C,D thẳng hàng

Xét ΔOBD vuông tại B có BK là đường cao

nên \(OK\cdot OD=OB^2=R^2\)

Ta có: \(\hat{COA}+\hat{COB}=180^0\) (hai góc kề bù)

=>\(2\left(\hat{COE}+\hat{COD}\right)=180^0\)

=>\(2\cdot\hat{DOE}=180^0\)

=>\(\hat{DOE}=\frac{180^0}{2}=90^0\)

Xét ΔDOE vuông tại O có OC là đường cao

nên \(EC\cdot CD=OC^2\)

=>\(EA\cdot BD=R^2\)

\(EA\cdot BD+OK\cdot OD=R^2+R^2=2R^2\)

a: Xét ΔOAC có OA=OC=AC(=R)

nên ΔOAC đều

b: Xét (O) có

ΔCAB nội tiếp

AB là đường kính

Do đó: ΔCAB vuông tại C

Xét ΔACB vuông tại C có CH là đường cao

nên \(CH^2=AH\cdot HB\)

a: góc BEI+góc BDI=180 độ

=>BEID nội tiếp

góc CEI+góc CFI=180 độ

=>CEIF nội tiếp

b: góc IED=góc IBD=1/2*sđ cung BI

góc IFE=góc ICE=1/2*sđ cung BI

=>góc IED=góc IFE

góc IDE=góc IBE=1/2*sđ cung IC

góc IEF=góc ICF=1/2*sđ cung IC

=>góc IDE=góc IEF
=>ΔIDE đồng dạng với ΔIEF

a: Xét (O) có

\(\hat{ICB}\) là góc tạo bởi tiếp tuyến CI và dây cung CB

\(\hat{CAB}\) là góc nội tiếp chắn cung CB

Do đó: \(\hat{ICB}=\hat{CAB}\)

mà \(\hat{CAB}=\hat{IFC}\left(=90^0-\hat{AED}\right)\)

nên \(\hat{ICF}=\hat{IFC}\)

Ta có: \(\hat{ICF}+\hat{ICE}=\hat{ECF}=90^0\)

\(\hat{IFC}+\hat{IEC}=90^0\) (ΔCEF vuông tại C)

mà \(\hat{ICF}=\hat{IFC}\)

nên \(\hat{ICE}=\hat{IEC}\)

Xét (O) có

ΔCAB nội tiếp

AB là đường kính

Do đó: ΔCAB vuông tại C

Ta có: \(\hat{IEC}+\hat{IFC}=90^0\) (ΔECF vuông tại C)

\(\hat{CAB}+\hat{CBA}=90^0\) (ΔCAB vuông tại C)

mà \(\hat{IFC}=\hat{CAB}\)

nên \(\hat{IEC}=\hat{CBA}\)

=>\(\hat{IEC}=\hat{ICE}=\hat{CBA}\)

b: Xét ΔICE có \(\hat{ICE}=\hat{IEC}\)

nên ΔICE cân tại I

c: Xét ΔICF có \(\hat{ICF}=\hat{IFC}\)

nên ΔICF cân tại I

=>IC=IF

mà IC=IE

nên IC=IE=IF

a CD <AB,b IE=OE-OI=OF-OI<OF-OH=HF

a) CD<AB,b)IE=OE-OI=OF-OI<OF-OH=HF