a/ Hai hàm số có đồ thị // với nhau khi

\(\hept{\begin{cases}m-2=1\\3\ne0\end{cases}}\Leftrightarrow m=3\)

b/ Tọa độ giao điểm 2 đường thẳng là nghiệm của hệ

\(\hept{\begin{cases}y=x+3\\y=2x+1\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=2\\y=5\end{cases}}\)

c/ Gọi điểm mà đường thẳng luôn đi qua là M(a,b) ta thế vào hàm số được

\(b=ma+3\)

\(\Leftrightarrow ma+3-b=0\)

Để phương trình này không phụ thuôc m thì

\(\hept{\begin{cases}a=0\\3-b=0\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a=0\\b=3\end{cases}}\)

Tọa độ điểm cần tìm là M(0, 3)

d/ Ta có khoản cách từ O(0,0) tới (d) là 1

\(\Rightarrow=\frac{\left|0-0m-3\right|}{\sqrt{1^2+m^2}}=\frac{3}{\sqrt{1+m^2}}=1\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{1+m^2}=3\)

\(\Leftrightarrow m^2=8\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}m=2\sqrt{2}\\m=-2\sqrt{2}\end{cases}}\)

a) ta có : \(y=mx+m-1\Leftrightarrow mx+m-1-y=0\)

\(\Leftrightarrow m\left(x+1\right)+\left(-y-1\right)\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x+1=0\\-y-1=0\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=-1\\y=-1\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\) \(d\) luôn đi qua một điểm cố định \(A\left(-1;-1\right)\) với mọi \(m\) (đpcm)

b) ta có : giao điểm của \(d\) với \(Ox\) là \(B\left(\dfrac{1-m}{m};0\right)\)

giao điểm của \(d\) với \(Oy\) là \(C\left(0;m-1\right)\)

để \(d\) tạo với các trục tọa độ một tam giác có điện tích bằng không khi và chỉ khi \(\left|Ox\right|.\left|Oy\right|=2\) \(\Leftrightarrow xy=2\)

\(\Rightarrow\left(\dfrac{1-m}{m}\right)\left(m-1\right)=2\Leftrightarrow-\left(m-1\right)^2=2m\)

\(\Leftrightarrow-m^2-1=0\Leftrightarrow m\in\varnothing\)

vậy không tồn tại giá trị của \(m\)

Sửa đề: \(y=mx+m-1\)

a, Gọi điểm cố định mà \(\left(d\right)\) luôn đi qua là \(\left(x_0;y_0\right)\)

\(\Rightarrow y_0=mx_0+m-1,\forall m\)

\(\Leftrightarrow m\left(x_0+1\right)-y_0-1=0,\forall m\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_0+1=0\\-y_0-1=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_0=-1\\y_0=-1\end{matrix}\right.\Rightarrow\left(-1;-1\right)\)

Vậy \(\left(d\right)\) luôn đi qua \(\left(-1;-1\right)\) với mọi giá trị của m

b, Gọi A, B lần lượt là giao điểm của \(\left(d\right)\) với trục tung và trục hoành

TH1: \(m=0\Rightarrow y=m-1\) là hàm hằng \(\Rightarrow\) loại

TH2: \(m\ne0\)

\(x=0\Rightarrow y=m-1\Rightarrow OA=\left|m-1\right|\)

\(y=0\Rightarrow x=\frac{1-m}{m}\Rightarrow OB=\left|\frac{1-m}{m}\right|\)

\(S_{\Delta OAB}=\frac{1}{2}OA.OB=\frac{1}{2}\left|m-1\right|\left|\frac{1-m}{m}\right|=\frac{\left(m-1\right)^2}{2\left|m\right|}=2\)

\(\Rightarrow m^2-2m+1=4\left|m\right|\)

Nếu \(m>0\Rightarrow m^2-6m+1=0\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m=3+2\sqrt{2}\\m=3-2\sqrt{2}\end{matrix}\right.\)

Nếu \(m< 0\Rightarrow m^2+2m+1=0\Leftrightarrow\left(m+1\right)^2=0\Leftrightarrow m=-1\)

Vậy ...