Cái này hình như đều ứng dụng của vi-et mà. B về lật phần vi-et rồi áp dụng vô là được

con này cơ bản

nhiều cạm bẫy (không khó)

Gọi M(x; y) là điểm cố định của (d), ta có:
2(m – 1)x + (m - 2)y = 2 luôn đúng với mọi m
<=> 2mx -x +my -2y =2 luôn đúng với mọi m
<=> (2x+ y)m -(x+2y+2)= 0 luôn đúng với mọi m
<=>
{2x+y= 0
{-(x+2y+2) =0
<=>
{ y= -4/3
{x= 2/3
Vậy (d) luôn đi qua điểm cố định M( 2/3; -4/3)

làm giúp em câu c đc ko ạ

Để đường thẳng $d:2(m-1)x+(m-2)y=2$ cắt $P:y=x$ thì hệ phương trình \(\left\{{}\begin{matrix}2\left(m-1\right)x+\left(m-2\right)y=2\\y=x\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}2\left(m-1\right)x+\left(m-2\right)y=2\\-x+y=0\end{matrix}\right.\)

phải có nghiệm tức là \(\frac{2\left(m-1\right)}{-1}\ne\frac{m-2}{1}\Leftrightarrow-2m+2\ne m-2\Leftrightarrow3m\ne4\Leftrightarrow m\ne\frac{4}{3}\)

KL: ..............

\(a,\) Gọi điểm cố định (d) luôn đi qua là \(A\left(x_0;y_0\right)\)

\(\Leftrightarrow y_0=\left(m-2\right)x_0+2\Leftrightarrow mx_0-2x_0+2-y_0=0\\ \Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_0=0\\2-2x_0-y_0=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_0=0\\y_0=2\end{matrix}\right.\Leftrightarrow A\left(0;2\right)\)

Vậy \(A\left(0;2\right)\) là điểm cố định mà (d) lun đi qua

\(b,\) PT giao Ox,Oy: \(y=0\Leftrightarrow x=\dfrac{2}{2-m}\Leftrightarrow B\left(\dfrac{2}{2-m};0\right)\Leftrightarrow OB=\dfrac{2}{\left|m-2\right|}\\ x=0\Leftrightarrow y=2\Leftrightarrow C\left(0;2\right)\Leftrightarrow OC=2\)

Gọi H là chân đường cao từ O đến (d) \(\Leftrightarrow OH=1\)

Áp dụng HTL: \(\dfrac{1}{OH^2}=1=\dfrac{1}{OB^2}+\dfrac{1}{OC^2}=\dfrac{\left(m-2\right)^2}{4}+\dfrac{1}{4}\)

\(\Leftrightarrow m^2-4m+4+1=4\\ \Leftrightarrow m^2-4m+1=0\\ \Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m=2+\sqrt{3}\\m=2-\sqrt{3}\end{matrix}\right.\)

\(c,\) Áp dụng HTL: \(\dfrac{1}{OH^2}=\dfrac{1}{OC^2}+\dfrac{1}{OB^2}=\dfrac{\left(m-2\right)^2}{4}+\dfrac{1}{4}\)

Đặt \(OH^2=t\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{t}=\dfrac{m^2-4m+5}{4}\Leftrightarrow t=\dfrac{4}{\left(m-2\right)^2+1}\le\dfrac{4}{0+1}=4\\ \Leftrightarrow OH\le2\\ OH_{max}=2\Leftrightarrow m=2\)

a, \(m=\dfrac{4}{3}\Leftrightarrow\left(d\right):y=-2:\dfrac{4}{3}\cdot x+2=-\dfrac{3}{2}+2\)

PT hoành độ giao điểm của (P) và (d) là

\(\dfrac{x^2}{2}=-\dfrac{3}{2}x+2\Leftrightarrow x^2=-3x+4\\ \Leftrightarrow x^2+3x-4=0\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=1\\x=-4\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}y=\dfrac{1}{2}\\y=8\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}A\left(1;\dfrac{1}{2}\right)\\B\left(-4;8\right)\end{matrix}\right.\)

Vậy \(A\left(1;\dfrac{1}{2}\right);B\left(-4;8\right)\) là tọa độ giao điểm của (P) và (d)

b, PT hoành độ giao điểm: \(\dfrac{x^2}{2}=-\dfrac{2}{m}x+2\Leftrightarrow x^2m=-4x+4m\)

\(\Leftrightarrow x^2m+4x-4m=0\left(1\right)\\ \Delta=16-4\left(-4m\right)m=16+8m^2>0,\forall m\)

Theo Vi-ét ta có \(x_1x_2=\dfrac{-4m}{m}=-4\) với \(x_1;x_2\) là nghiệm của (1)

Do đó \(x_1;x_2\) luôn trái dấu

Vậy PT(1) luôn có 2 nghiệm phân biệt trái dấu nên (P) luôn cắt (d) tại 2 điểm M,N nằm về 2 phía of trục tung

c, Gọi \(I\left(x_0;y_0\right)\) là điểm cố định mà (d) luôn đi qua

\(\Leftrightarrow y_0=-\dfrac{2}{m}\cdot x_0+2\Leftrightarrow my_0=-2x_0+2m\\ \Leftrightarrow m\left(y_0-2\right)+2x_0=0\\ \Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_0=0\\y_0=2\end{matrix}\right.\Leftrightarrow I\left(0;2\right)\)

Điểm C,D là ở đâu bạn nhỉ?

a: Thay x=-1 và y=3 vào (d), ta được:

-2-m+1=3

=>-1-m=3

=>m=-4

b: PTHĐGĐ là;

1/2x^2-2x+m-1=0

=>x^2-4x+2m-2=0

Δ=(-4)^2-4(2m-2)

=16-8m+8=-8m+24

Để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt thì -8m+24>0

=>m<3

x1x2(y1+y2)+48=0

=>x1x2(x1^2+x2^2)+48=0

=>(2m-2)[4^2-2(2m-2)]+48=0

=>(2m-2)(16-4m+4)+48=0

=>(2m-2)*(20-4m)+48=0

=>40m-8m^2-40+8m+48=0

=>-8m^2+48m+8=0

=>m=3+căn 10 hoặc m=3-căn 10