A B C O I M

1.Vì đường kính của (O) là 10cm

\(\Rightarrow\) Bán kính của (O) là  \(R=\frac{10}{2}=5\)

\(\Rightarrow d\left(O,d\right)=3< R=5\)

\(\Rightarrow d\left(O\right)\)cắt nhau tại 2 điểm phân biệt

2 . Kẻ \(OI\perp AB\Rightarrow I\) là trung điểm AB

Vì \(OI\perp AB\Rightarrow OI=3\Rightarrow AI^2=OA^2-0I^2=5^2-3^2=16\)

\(\Rightarrow AI=4\Rightarrow AB=2AI=8\) vì I là trung điểm AB

3.Vì O, I là trung điểm AC,AB

=> OI là đường trung bình \(\Delta ABC\Rightarrow BC=2OI=6\)

4 . Vì AC là đường kính của (O) 

\(\Rightarrow CB\perp AB\Rightarrow CB\perp AM\)

Mà \(CA\perp CM\Rightarrow CB^2=AB.BM\)

\(\Rightarrow BM=\frac{BC^2}{AB}=\frac{6^2}{8}=\frac{9}{2}\)

Xét (O) có

CA,CM là tiếp tuyến

Do đó: OC là phân giác của \(\widehat{MOA}\)

=>\(\widehat{MOA}=2\cdot\widehat{MOC}\)

Xét (O) có

DM,DB là tiếp tuyến

Do đó: OD là phân giác của góc MOB

=>\(\widehat{MOB}=2\cdot\widehat{MOD}\)

\(\widehat{MOA}+\widehat{MOB}=180^0\)(hai góc kề bù)

=>\(2\cdot\left(\widehat{MOD}+\widehat{MOC}\right)=180^0\)

=>\(2\cdot\widehat{DOC}=180^0\)

=>\(\widehat{DOC}=90^0\)

=>ΔDOC vuông tại O

Gọi N là trung điểm của CD

ΔOCD vuông tại O

=>ΔOCD nội tiếp đường tròn đường kính CD

mà N là trung điểm của CD

nên ΔOCD nội tiếp (N)

Xét hình thang ACDB có

O,N lần lượt là trung điểm của AB,CD

=>ON là đường trung bình của hình thang ACDB

=>ON//AC//BD

=>ON\(\perp\)AB tại O

Xét (N) có

NO là bán kính

AB\(\perp\)NO tại O

Do đó:AB là tiếp tuyến của (N)

=>Đường tròn đường kính CD tiếp xúc với AB

1: ΔABC vuông tại A

=>A,B,C cùng thuộc đường tròn đường kính BC

=>O là trung điểm của BC

ΔOAC cân tại O

mà OD là đường trung tuyến

nên OD vuông góc AC

Xét tứ giác AHOD có góc AHO+góc ADO=180 độ

nên AHOD nội tiếp đường tròn đường kính AO

2: I nằm giữa O và A

=>OI+IA=OA

=>OI=OA-IA=R-r

=>(I) tiếp xúc (O) tại A

3: Xét (I) có

ΔAEO nội tiếp

AO là đường kính

Do đó: ΔAEO vuông tại E

Xét tứ giác AEOD có

góc AEO=góc ADO=góc EAD=90 độ

=>AEOD là hình chữ nhật

=>AO cắt ED tại trung điểm của mỗi đường

=>E,I,D thẳng hàng

1: Xét (O) có

MA,MB là các tiếp tuyến

Do đó: MA=MB và MO là phân giác của góc AMB

Ta có: MA=MB

=>M nằm trên đường trung trực của AB (2)

Ta có: OA=OB

=>O nằm trên đường trung trực của AB(1)

Từ (1),(2) suy ra OM là đường trung trực của AB

=>OM⊥AB tại H và H là trung điểm của AB

Xét (O) có

\(\hat{MAC}\) là góc tạo bởi tiếp tuyến AM và dây cung AC

\(\hat{ADC}\) là góc nội tiếp chắn cung AC

Do đó: \(\hat{MAC}=\hat{ADC}\)

Xét ΔMAC và ΔMDA có

\(\hat{MAC}=\hat{MDA}\)

góc AMC chung

Do đó: ΔMAC~ΔMDA

=>\(\frac{MA}{MD}=\frac{MC}{MA}\)
=>\(MA^2=MD\cdot MC\left(3\right)\)

Xét ΔMAO vuông tại A có AH là đường cao

nên \(MH\cdot MO=MA^2\left(4\right)\)

Từ (3),(4) suy ra \(MD\cdot MC=MH\cdot MO\)

=>\(\frac{MD}{MO}=\frac{MH}{MC}\)

=>\(\frac{MD}{MH}=\frac{MO}{MC}\)

Xét ΔMDO và ΔMHC có

\(\frac{MD}{MH}=\frac{MO}{MC}\)

góc DMO chung

Do đó: ΔMDO~ΔMHC

=>\(\hat{MDO}=\hat{MHC}\)

mà \(\hat{MHC}+\hat{OHC}=180^0\) (hai góc kề bù)

nên \(\hat{OHC}+\hat{ODC}=180^0\)

=>OHCD là tứ giác nội tiếp

=>\(\hat{DHO}=\hat{DCO}\)

mà \(\hat{DCO}=\hat{ODC}\) (ΔOCD cân tại O)

và \(\hat{ODC}=\hat{MHC}\)

nên \(\hat{MHC}=\hat{OHD}\)

=>\(90^0-\hat{MHC}=90^0-\hat{OHD}\)

=>\(\hat{CHA}=\hat{DHA}\)

=>HA là phân giác của góc DHC

mà HA⊥HM

nên HM là phân giác ngoài tại đỉnh H của ΔDHC

Xét ΔDHC có HM là phân giác ngoài tại đỉnh H

nên \(\frac{MC}{MD}=\frac{HC}{HD}\)

2: Ta có: \(\hat{HAP}+\hat{OPA}=90^0\) (ΔAHP vuông tại H)

\(\hat{MAP}+\hat{OAP}=\hat{OAM}=90^0\)

mà \(\hat{OAP}=\hat{OPA}\) (ΔOAP cân tại O)

nên \(\hat{HAP}=\hat{MAP}\)

=>AP là phân giác của góc HAM

Xét ΔBAM có

AP,MH là các đường phân giác

AP cắt MH tại P

Do đó: P là tâm đường tròn nội tiếp ΔMAB

câu a chắc sai đề rồi bạn.

b. xét tam giác CDA và tam giác EDB:

góc CDA = góc EDB (hai góc đối đỉnh)

góc CAE = góc EBC (góc nội tiếp cùng chắn cung CE)

do đó: tam giacs CDA đồng dạng tam giác EDB (g-g)

=> CD/ED = DA/DB => CD.DB=ED.DA