Câu hỏi của Phan Thanh Tịnh

Question

Cho điểm D nằm trong tam giác đều ABC. Kẻ DM,DN,DP lần lượt vuông góc với AB,AC,BC. Chứng minh rằng khi điểm D di chuyển vị trí thì DM + DN + DP không đổi.

Đinh Thùy Linh · Accepted Answer

Nối D với các đỉnh A;B;C của tam giác đều.
Dễ thấy: $S_{ABC}=S_{ABD}+S_{ACD}+S_{BCD}=\frac{1}{2}DM\cdot AB+\frac{1}{2}DN\cdot AC+\frac{1}{2}DP\cdot BC=\frac{1}{2}a\left(DM+DN+DP\right).$trong đó a là cạnh của tam giác đều ABC.
Diện tích và Cạnh tam giác ABC không thay đổi khi di chuyển điểm D nên: DM+DN+DP là không đổi.

Câu trả lời:

Nối D với các đỉnh A;B;C của tam giác đều.
Dễ thấy: $S_{ABC}=S_{ABD}+S_{ACD}+S_{BCD}=\frac{1}{2}DM\cdot AB+\frac{1}{2}DN\cdot AC+\frac{1}{2}DP\cdot BC=\frac{1}{2}a\left(DM+DN+DP\right).$trong đó a là cạnh của tam giác đều ABC.
Diện tích và Cạnh tam giác ABC không thay đổi khi di chuyển điểm D nên: DM+DN+DP là không đổi.

Hoàng Lê Bảo Ngọc · Answer

A B C D M N P

Gọi a là cạnh của tam giác đều ABC, $S$là diện tích của tam giác đều ABC , $x$là diện tích tam giác ADB , $y$là diện tích tam giác ADC , $z$là diện tích tam giác BDC (x,y,z > 0)

Ta có : $x+y+z=S$

Mặt khác : $x=\frac{a.DM}{2}\Rightarrow DM=\frac{2x}{a}$ ; tương tự : $DN=\frac{2y}{a}$; $DP=\frac{2z}{a}$

$\Rightarrow DM+DN+DP=\frac{2x}{a}+\frac{2y}{a}+\frac{2z}{a}=\frac{2}{a}\left(x+y+z\right)=\frac{2S}{a}$(không đổi)

Vậy khi D di chuyển thì DM + DN + DP không đổi (đpcm)

Câu trả lời:

A B C D M N P

Gọi a là cạnh của tam giác đều ABC, $S$là diện tích của tam giác đều ABC , $x$là diện tích tam giác ADB , $y$là diện tích tam giác ADC , $z$là diện tích tam giác BDC (x,y,z > 0)

Ta có : $x+y+z=S$

Mặt khác : $x=\frac{a.DM}{2}\Rightarrow DM=\frac{2x}{a}$ ; tương tự : $DN=\frac{2y}{a}$; $DP=\frac{2z}{a}$

$\Rightarrow DM+DN+DP=\frac{2x}{a}+\frac{2y}{a}+\frac{2z}{a}=\frac{2}{a}\left(x+y+z\right)=\frac{2S}{a}$(không đổi)

Vậy khi D di chuyển thì DM + DN + DP không đổi (đpcm)

Trần Cao Anh Triết · Answer

Ta có : $x=a^2-bc\Rightarrow ax=a^3-abc$x=a2−bc⇒ax=a3−abc; $y=b^2-ac\Rightarrow by=b^3-abc$y=b2−ac⇒by=b3−abc; $z=c^2-ab\Rightarrow cz=c^3-abc$z=c2−ab⇒cz=c3−abc

$\Rightarrow ax+by+cz=a^3+b^3+c^3-3abc$⇒ax+by+cz=a3+b3+c3−3abc

Ta có : $a^3+b^3+c^3-3abc=\left(a+b\right)^3+c^3-3ab\left(a+b\right)-3abc$a3+b3+c3−3abc=(a+b)3+c3−3ab(a+b)−3abc

$=\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2+2ab-ac-bc\right)-3ab\left(a+b+c\right)$=(a+b+c)(a2+b2+c2+2ab−ac−bc)−3ab(a+b+c)

$=\left(a+b+c\right)\left(a^2-bc+b^2-ac+c^2-ab\right)=\left(a+b+c\right)\left(x+y+z\right)$=(a+b+c)(a2−bc+b2−ac+c2−ab)=(a+b+c)(x+y+z)

Vậy : $\left(x+y+z\right)\left(a+b+c\right)=ax+by+cz$(x+y+z)(a+b+c)=ax+by+cz(đpcm)

Bạn lưu ý đề bài ở chỗ $y^2=b^2-ac$y2=b2−acbạn ghi sai nhé, phải là $y=b^2-ac$y=b2−ac

Bạn nhớ ghi thêm điều kiện x,y,z khác 0 nữa nhé :))

Câu trả lời:

Ta có : $x=a^2-bc\Rightarrow ax=a^3-abc$x=a2−bc⇒ax=a3−abc; $y=b^2-ac\Rightarrow by=b^3-abc$y=b2−ac⇒by=b3−abc; $z=c^2-ab\Rightarrow cz=c^3-abc$z=c2−ab⇒cz=c3−abc

$\Rightarrow ax+by+cz=a^3+b^3+c^3-3abc$⇒ax+by+cz=a3+b3+c3−3abc

Ta có : $a^3+b^3+c^3-3abc=\left(a+b\right)^3+c^3-3ab\left(a+b\right)-3abc$a3+b3+c3−3abc=(a+b)3+c3−3ab(a+b)−3abc

$=\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2+2ab-ac-bc\right)-3ab\left(a+b+c\right)$=(a+b+c)(a2+b2+c2+2ab−ac−bc)−3ab(a+b+c)

$=\left(a+b+c\right)\left(a^2-bc+b^2-ac+c^2-ab\right)=\left(a+b+c\right)\left(x+y+z\right)$=(a+b+c)(a2−bc+b2−ac+c2−ab)=(a+b+c)(x+y+z)

Vậy : $\left(x+y+z\right)\left(a+b+c\right)=ax+by+cz$(x+y+z)(a+b+c)=ax+by+cz(đpcm)

Bạn lưu ý đề bài ở chỗ $y^2=b^2-ac$y2=b2−acbạn ghi sai nhé, phải là $y=b^2-ac$y=b2−ac

Bạn nhớ ghi thêm điều kiện x,y,z khác 0 nữa nhé :))

Chúng tôi đề xuất

Tài nguyên

Ứng dụng mobile

Bảng xếp hạng

Các khóa học có thể bạn quan tâm

Yêu cầu VIP