a) Xét ∆BHI và ∆IDC có : 

BI = IC ( I là trung điểm BC )

HIB = CID ( đối đỉnh) 

HI = ID ( I là trung điểm HD )

=> ∆BHI = ∆IDC (c.g.c)

=> HBI = IDC( tương ứng) 

Mà 2 góc này ở vị trí so le trong 

=> BH //DC 

Mà H \(\in\)BB' 

=> HB //DC 

=> HBC + BCD = 180° ( trong cùng phía) 

=> BCD = 180° - 90° = 90° 

Hay CD\(\perp\)AC 

Giải:

Hình bạn tự vẽ nhé

a) Xét tam giác ABD và tam giác ACE ta có: 

\(\hept{\begin{cases}\widehat{BAC}-chung\\\widehat{BDA}=\widehat{CEA}=90^o\end{cases}}\Rightarrow\Delta ABD~\Delta ACE\left(g.g\right)\)

b) H là giao điểm của BD và CE suy ra H là trực tâm của tam giác ABC

=> AH là đường cao thứ 3 của tam giác ABC => \(AH\perp BC\)

Xét \(\Delta CEB\) và \(\Delta CKH\) ta có:

\(\hept{\begin{cases}\widehat{CEB}=\widehat{CKH}=90^o\\\widehat{ECB}-chung\end{cases}}\Rightarrow\Delta CEB~\Delta CKH\left(g.g\right)\Rightarrow\frac{CE}{CK}=\frac{BC}{CH}\Rightarrow CE.CH=BC.CK\)(1)

c) Ta có: Xét \(\Delta BKH\) và \(\Delta BDC\) ta có:

\(\hept{\begin{cases}\widehat{DBC}-chung\\\widehat{HKB}=\widehat{BDC}=90^o\end{cases}}\Rightarrow\frac{BK}{BD}=\frac{BH}{BC}\Rightarrow BK.BC=BH.BD\)(2)

Cộng theo vế của (1) và (2):

\(BH.BD+CH.CE=BC\left(CK+BK\right)=BC^2\left(đpcm\right)\)

\(\text{GIẢI :}\)

A B C H D O I x y

a) Xét \(\diamond\text{ACDO}\) có \(\widehat{\text{OAC}}=\widehat{\text{ACD}}=\widehat{\text{CDO}}\text{ }\left(=90^0\right)\)

\(\Rightarrow\text{ }\diamond\text{ACDO}\) là hình chữ nhật.

mà \(AC=CD\text{ }\Rightarrow\text{ }\diamond\text{ACDO}\) là hình vuông.

b) Xét ABC , có : \(\widehat{ACB}=90^0-\widehat{ABC}\) (1)

Xét ABH , có : \(\widehat{BAH}=90^{\text{o}}-\widehat{ABH}\)

hay \(\widehat{BAH}=90^{\text{o}}-\widehat{ABC}\) (2)

Từ (1) và (2) \(\Rightarrow\text{ }\widehat{BAH}=\widehat{ACB}\).

Xét \(\bigtriangleup\text{ABC và }\bigtriangleup\text{OIA}\), có :

\(\widehat{IOA}=\widehat{BAC}\text{ }\left(90^{\text{o}}\right)\)

\(AO=AC\) (vì \(\diamond\text{ACDO}\) là hình vuông)

\(\widehat{IAO}=\widehat{ACB}\) (vì \(\widehat{BAH}=\widehat{ACB}\), \(\widehat{IAO}\) và \(\widehat{BAH}\) đối đỉnh)

\(\Rightarrow\bigtriangleup\text{ABC}=\bigtriangleup\text{OIA}\) (g.c.g)

\(\Rightarrow\text{ IA = BC}\) (2 cạnh tương ứng) (đpcm).

GIẢI :

A B C H D O I x y

a) Xét \(\diamond \text{ACDO}\) có \(\hat{\text{OAC}} = \hat{\text{ACD}} = \hat{\text{CDO}} \&\text{nbsp}; \left(\right. = 9 0^{0} \left.\right)\)

\(\Rightarrow \&\text{nbsp}; \diamond \text{ACDO}\) là hình chữ nhật.

mà \(� � = � � \&\text{nbsp}; \Rightarrow \&\text{nbsp}; \diamond \text{ACDO}\) là hình vuông.

b) Xét ABC , có : \(\hat{� � �} = 9 0^{0} - \hat{� � �}\) (1)

Xét ABH , có : \(\hat{� � �} = 9 0^{\text{o}} - \hat{� � �}\)

hay \(\hat{� � �} = 9 0^{\text{o}} - \hat{� � �}\) (2)

Từ (1) và (2) \(\Rightarrow \&\text{nbsp}; \hat{� � �} = \hat{� � �}\).

Xét \(\triangle \text{ABC}\&\text{nbsp};\text{v} \overset{ˋ}{\text{a}} \&\text{nbsp}; \triangle \text{OIA}\), có :

\(\hat{� � �} = \hat{� � �} \&\text{nbsp}; \left(\right. 9 0^{\text{o}} \left.\right)\)

\(� � = � �\) (vì \(\diamond \text{ACDO}\) là hình vuông)

\(\hat{� � �} = \hat{� � �}\) (vì \(\hat{� � �} = \hat{� � �}\), \(\hat{� � �}\) và \(\hat{� � �}\) đối đỉnh)

\(\Rightarrow \triangle \text{ABC} = \triangle \text{OIA}\) (g.c.g)

\(\Rightarrow \&\text{nbsp};\text{IA}\&\text{nbsp};=\&\text{nbsp};\text{BC}\) (2 cạnh tương ứng) (đpcmGIẢI :

A B C H D O I x y

a) Xét \(\diamond \text{ACDO}\) có \(\hat{\text{OAC}} = \hat{\text{ACD}} = \hat{\text{CDO}} \&\text{nbsp}; \left(\right. = 9 0^{0} \left.\right)\)

\(\Rightarrow \&\text{nbsp}; \diamond \text{ACDO}\) là hình chữ nhật.

mà \(� � = � � \&\text{nbsp}; \Rightarrow \&\text{nbsp}; \diamond \text{ACDO}\) là hình vuông.

b) Xét ABC , có : \(\hat{� � �} = 9 0^{0} - \hat{� � �}\) (1)

Xét ABH , có : \(\hat{� � �} = 9 0^{\text{o}} - \hat{� � �}\)

hay \(\hat{� � �} = 9 0^{\text{o}} - \hat{� � �}\) (2)

Từ (1) và (2) \(\Rightarrow \&\text{nbsp}; \hat{� � �} = \hat{� � �}\).

Xét \(\triangle \text{ABC}\&\text{nbsp};\text{v} \overset{ˋ}{\text{a}} \&\text{nbsp}; \triangle \text{OIA}\), có :

\(\hat{� � �} = \hat{� � �} \&\text{nbsp}; \left(\right. 9 0^{\text{o}} \left.\right)\)

\(� � = � �\) (vì \(\diamond \text{ACDO}\) là hình vuông)

\(\hat{� � �} = \hat{� � �}\) (vì \(\hat{� � �} = \hat{� � �}\), \(\hat{� � �}\) và \(\hat{� � �}\) đối đỉnh)

\(\Rightarrow \triangle \text{ABC} = \triangle \text{OIA}\) (g.c.g)

\(\Rightarrow \&\text{nbsp};\text{IA}\&\text{nbsp};=\&\text{nbsp};\text{BC}\) (2 cạnh tương ứng) (đpcm

a,Xét \(\Delta\)AHB và AHD có:AH chung

                                   BH=HD(gt)

                                   AHB=AHD=90

vậy tam giác AHB= tam giác AHC

b,Tam giác ABD đều ms đúng chứ ạ bạn xem lại đề nha

Theo câu a ta có tam giác AHB =tam giác AHD nên AB=AD(2 cạnh tương ứng)

Xét tam giác ABD có AB=AD suy ra tam giác ABD cân mà góc ABD =60 độ(cái này bạn tự tính nha)

suy ra tam giác ABD đều

c,Dễ thấy được tam giác ADC cân tại D nên AD=DC

Xét tam giác AHD và tam giác CED có:

        AD=DC

        HDA=EDC(2 góc đối đỉnh)

        AHD=CED=90

nên tam giác AHD=tam giác CED(ch-gn)

suy ra HD=DE mà theo câu a tam giác AHB=AHD nên HD=HB

vậy HB=DE(đpcm)

d, I là giao điểm của CE và AH chứ bạn

Xét tam giác AIC có : AE vuông góc với IC

                                CH vuông góc với IA

                           mà CH cắt AE tại D

nên D là trực tâm của tam giác IAC

hay ID vuống góc với AC

mặt khác DF vuông góc với AC

nên I ,D,F thẳng hàng

Chúc bạn học tốt

a,Xét \(\Delta AHB\)và \(\Delta AHD\)có

AH chung

HB=HD

\(\widehat{AHB}=\widehat{AHD}\left(=90^0\right)\)

=> \(\Delta AHB\)=\(\Delta AHD\)

b, xem lại đề

c, Vì \(\widehat{C}=30^0\Rightarrow\widehat{B}=30^0\Rightarrow\widehat{BAD}=60^0\)

\(\Rightarrow\widehat{DAC}=30^0\)

\(\Rightarrow\Delta DAC\)cân tại D

\(\Rightarrow DA=DC\)

Từ đó ta chứng minh được \(\Delta HAD=\Delta ECD\)

\(\Rightarrow HD=DE=BH\)(ĐPCM)

d,Xem lại đề

Chúc học tốt!!!!!! :)

Bài làm

A B C x y O O 2 H

1/ Xét \(\diamond ACDO\), có :

\(\widehat{BAC}=\widehat{ACD}=\widehat{CDO}=90^0\)

\(\Rightarrow\diamond ACDO\) là hình chữ nhật

mà \(AC=CD\)

\(\Rightarrow\diamond ACDO\) là hình vuông.

2/ Ta có :

\(\bigtriangleup ABC\) vuông tại A \(\Rightarrow\widehat{ABC}+\widehat{ACB}=90^0\)

\(\bigtriangleup ABH\) vuông tại H \(\Rightarrow\widehat{BAH}+\widehat{ABC}=90^0\)

Do đó \(\widehat{BAH}=\widehat{ACB}\)

Xét \(\bigtriangleup ABC\) và \(\bigtriangleup AOO_2\), có :

\(\widehat{BAC}=\widehat{O_2OA}=90^0\) (\(\diamond ACDO\) là hình vuông)

\(AC=AO\) (\(\diamond ACDO\) là hình vuông)

\(\widehat{OAO_2}=\widehat{ACB}\) (vì \(\widehat{BAH}=\widehat{ACB}\))

\(\Rightarrow\bigtriangleup ABC=\bigtriangleup AOO_2\text{ }\left(g.c.g\right)\).

Bài làm

A B C x y O O 2 H

1/ Xét \(\diamond � � � �\), có :

\(\hat{� � �} = \hat{� � �} = \hat{� � �} = 9 0^{0}\)

\(\Rightarrow \diamond � � � �\) là hình chữ nhật

mà \(� � = � �\)

\(\Rightarrow \diamond � � � �\) là hình vuông.

2/ Ta có :

\(\triangle � � �\) vuông tại A \(\Rightarrow \hat{� � �} + \hat{� � �} = 9 0^{0}\)

\(\triangle � � �\) vuông tại H \(\Rightarrow \hat{� � �} + \hat{� � �} = 9 0^{0}\)

Do đó \(\hat{� � �} = \hat{� � �}\)

Xét \(\triangle � � �\) và \(\triangle � � �_{2}\), có :

\(\hat{� � �} = \hat{�_{2} � �} = 9 0^{0}\) (\(\diamond � � � �\) là hình vuông)

\(� � = � �\) (\(\diamond � � � �\) là hình vuông)

\(\hat{� � �_{2}} = \hat{� � �}\) (vì \(\hat{� � �} = \hat{� � �}\))

\(\Rightarrow \triangle � � � = \triangle � � �_{2} \&\text{nbsp}; \left(\right. � . � . � \left.\right)\)