1)

Vì -1\(\le\) sin(5n)\(\le\) 1

Nên \(\lim\limits_{n\rarr+\infty}\left(\frac{\sin\left(5n\right)}{3n}-2\right)\) = -2

2)

\(-1\le\cos2n\le1\)

Có \(\lim\limits_{n\rarr+\infty}\left(5-\frac{\left(n^2\cos2n\right)}{n^2+1}\right)\)

= \(\lim\limits_{n\rarr+\infty}5-\frac{\left(\cos2n\right)}{1+\frac{1}{n^2}}\) =A => A nhận các giá trị trong đoạn [4;6]

3)

Có \({\sum_1^{+\infty}\frac{\frac{n}{2}}{n^2+1}}\) =\(\) \(\frac{\frac12+\frac12\left(n-1\right)}{n^2+1}\) nên lim của nó =0

4)

4)

\(\sum_1^{+\infty}\) \(\frac{\left(-1\right)^{n+1}}{2^{n}}\) =\(\lim\limits_{n\rarr+\infty}\) \(\frac{\frac12\left(1-\left(-\frac12\right)^{n}\right)}{1-\frac{-1}{2}}\) =\(\frac13\)

5)

\(\lim\limits_{n\rarr+\infty}\) \(\frac{n-2\sqrt{n}\sin2n}{2n}\) =\(\frac12\)

Câu 4.

\(\lim \left( {{n^2}\sin \dfrac{{n\pi }}{5} - 2{n^3}} \right) = \lim {n^3}\left( {\dfrac{{\sin \dfrac{{n\pi }}{5}}}{n} - 2} \right) = - \infty \)

Vì \(\lim {n^3} = + \infty ;\lim \left( {\dfrac{{\sin \dfrac{{n\pi }}{5}}}{n} - 2} \right) = - 2 \)

\(\left| {\dfrac{{\sin \dfrac{{n\pi }}{5}}}{n}} \right| \le \dfrac{1}{n};\lim \dfrac{1}{n} = 0 \Rightarrow \lim \left( {\dfrac{{\sin \dfrac{{n\pi }}{5}}}{n} - 2} \right) = - 2\)

Câu 5.

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l} 0 \le \left| {{u_n}} \right| \le \dfrac{1}{{{n^2} + 1}} \le \dfrac{1}{n} \to 0\\ 0 \le \left| {{v_n}} \right| \le \dfrac{1}{{{n^2} + 2}} \le \dfrac{1}{n} \to 0 \end{array} \right. \to \lim {u_n} = \lim {v_n} = 0 \to \lim \left( {{u_n} + {v_n}} \right) = 0\)

Cách đơn giản nhất: tính trực tiếp

\(u_2=\frac{1}{3}\left(u_1+1\right)=1\) ; \(u_3=\frac{1}{3}\left(u_2+1\right)=\frac{2}{3}\) ; \(u_4=\frac{1}{3}\left(u_3+1\right)=\frac{4}{9}\)

Còn nếu rảnh thì bạn có thể tìm công thức tổng quát của \(u_n\), nhưng chỉ nên áp dụng khi người ta bắt tính với \(n\) lớn kiểu \(u_{40}\) chẳng hạn

U₄=\(\frac{5}{9}\)chứ b

Ý bạn là dãy số này: \(\left\{{}\begin{matrix}u_1=1\\u_{n+1}=u_n+\left(\dfrac{1}{2}\right)^n\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}u_1=1\\u_{n+1}+2.\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n+1}=u_n+2.\left(\dfrac{1}{2}\right)^n\end{matrix}\right.\)

Đặt \(v_n=u_n+2.\left(\dfrac{1}{2}\right)^n\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}v_1=u_1+2\left(\dfrac{1}{2}\right)=2\\v_{n+1}=v_n\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow v_{n+1}=v_n=v_{n-1}=...=v_1=1\)

\(\Rightarrow v_n=v_1=1\Rightarrow u_n+2\left(\dfrac{1}{2}\right)^n=1\)

\(\Rightarrow u_n=1-2\left(\dfrac{1}{2}\right)^n\)

\(\Rightarrow lim\left(u_n\right)=lim\left[1-2\left(\dfrac{1}{2}\right)^n\right]=1-0=1\)

thanks bn nha

B