Do (O) là đường tròn ngoại tiếp ∆ABC

⇒ O là giao điểm của ba đường trung trực của ∆ABC

⇒ AO là đường trung trực của ∆ABC

⇒ AO ⊥ BC tại H

⇒ H là trung điểm BC

⇒ BH = BC : 2 = 12 : 2 = 6 (cm)

Do ∠ABD là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn

⇒ ∠ABD = 90⁰

∆ABD vuông tại B có BH là đường cao

⇒ 1/BH² = 1/AB² + 1/BD²

⇒ 1/BD² = 1/BH² - 1/AB²

= 1/36 - 1/100

= 4/225

⇒ BD² = 225/4

⇒ BD = 15/2 = 7,5 (cm)

∆ABD vuông tại B

⇒ AD² = AB² + BD² (Pytago)

= 10² + 7,5²

= 156,25

⇒ AD = 12,5 (cm)

Để tính độ dài đoạn thẳng AD, ta cần tìm được tọa độ của điểm D trên đường tròn (O).

Gọi M là trung điểm của đoạn BC. Ta có AM là đường trung trực của BC, do đó OM vuông góc với BC và OM = MC = 6(cm).

Vì tam giác ABC cân tại A nên đường trung trực của BC cũng là đường cao của tam giác. Do đó, ta có AH là đường cao của tam giác ABC và AH = $\sqrt{AB^2 - BM^2}$ = $\sqrt{100 - 36}$ = $\sqrt{64}$ = 8(cm).

Ta có thể tính được AO bằng định lý Pythagoras trong tam giác vuông AOM:

$AO^2 = AM^2 + OM^2 = 10^2 - 6^2 + 6^2 = 100$

Vậy $AO = 10$ (cm).

Do đó, ta có thể tính được bán kính đường tròn (O) là $R = \frac{BC}{2} = 6$ (cm).

Gọi E là điểm đối xứng của A qua đường tròn (O). Ta có AE là đường đối xứng của AH qua đường tròn (O), do đó AE = AH = 8 (cm).

Ta có thể tính được độ dài đoạn thẳng DE bằng định lý Pythagoras trong tam giác vuông AOD:

$DE^2 = DO^2 + OE^2 = R^2 + AE^2 = 6^2 + 8^2 = 100$

Vậy $DE = 10$ (cm).

Ta cần tính độ dài đoạn thẳng AD. Ta có thể tính được độ dài đoạn thẳng HD bằng định lý Euclid:

$\frac{HD}{BD} = \frac{AH}{AB}$

$\Rightarrow HD = \frac{AH \cdot BD}{AB} = \frac{8 \cdot 6}{10} = \frac{24}{5}$ (cm)

Ta có thể tính được độ dài đoạn thẳng AO bằng định lý Pythagoras trong tam giác vuông AHO:

$AD^2 = AO^2 + OD^2 - 2 \cdot AO \cdot OD \cdot \cos{\angle AOD}$

Vì tam giác AOD cân tại O nên $\angle AOD = \frac{1}{2} \cdot \angle AOB$. Ta có thể tính được $\angle AOB$ bằng định lý cosin trong tam giác ABC:

$\cos{\angle AOB} = \frac{AB^2 + AC^2 - BC^2}{2 \cdot AB \cdot AC

a: Kẻ CH⊥AB tại H

Xét tứ giác CDAH có \(\hat{CDA}=\hat{DAH}=\hat{CHA}=90^0\)

nên CDAH là hình chữ nhật

Hình chữ nhật CDAH có CD=DA(=4cm)

nên CDAH là hình vuông

=>CH=HA=CD=DA=4cm

AH+HB=AB

=>HB=7-4=3(cm)

ΔCHB vuông tại H

=>\(CB^2=CH^2+HB^2=4^2+3^2=16+9=25=5^2\)

=>CB=5(cm)

c: Xét ΔSAB có DC//AB

nên \(\frac{DC}{AB}=\frac{SD}{SA}\)

=>\(\frac{SD}{SD+4}=\frac47\)

=>7SD=4SD+16

=>3SD=16

=>\(SD=\frac{16}{3}\) (cm)

ΔSDC vuông tại D

=>\(SD^2+DC^2=SC^2\)

=>\(SC^2=\left(\frac{16}{3}\right)^2+4^2=\frac{256}{9}+16=\frac{256+144}{9}=\frac{400}{9}\)

=>\(SC=\frac{20}{3}\left(\operatorname{cm}\right)\)

d: Xét ΔSDC vuông tại D có sin SCD=\(\frac{SD}{SC}=\frac{16}{3}:\frac{20}{3}=\frac45\)

nên \(\hat{SCD}\) ≃53 độ

DC//AB

=>\(\hat{SCD}=\hat{CBA}\) (hai góc đồng vị)

=>\(\hat{CBA}\) =53 độ

DC//AB

=>\(\hat{DCB}+\hat{CBA}=180^0\)

=>\(\hat{DCB}=180^0-53^0=127^0\)

a: góc BFC=góc BEC=90độ

=>BFEC nội tiếp

b: Xét ΔBEI và ΔBME có

góc BEI=góc BME

góc EBI chung

=>ΔBEI đồng dạng vói ΔBME

=>BE^2=BI*BM=BS*BA

a: Xét (O) có

ΔABN nội tiếp

AN là đường kính

Do đó: ΔABN vuông tại B

=>BN⊥BA

mà CH⊥BA

nên BN//CH

Xét (O) có

ΔACN nội tiếp

AN là đường kính

Do đó: ΔACN vuông tại C

=>CA⊥CN

mà BH⊥CA
nên BH//CN

Xét tứ giác BHCN có

BH//CN

BN//CH

Do đó: BHCN là hình bình hành

=>BC cắt HN tại trung điểm của mỗi đường

mà M là trung điểm của BC

nên M là trung điểm của HN

=>H đối xứng N qua M

b: AKBC là tứ giác nội tiếp

=>\(\hat{AKB}+\hat{ACB}=180^0\)

mà \(\hat{AKB}+\hat{FKB}=180^0\) (hai góc kề bù)

nên \(\hat{FKB}=\hat{FCA}\)

Xét ΔFKB và ΔFCA có

\(\hat{FKB}=\hat{FCA}\)

góc CFA chung

Do đó: ΔFKB~ΔFCA

=>\(\frac{FK}{FC}=\frac{FB}{FA}\)

=>\(FK\cdot FA=FB\cdot FC\) (1)

Xét tứ giác BEDC có \(\hat{BEC}=\hat{BDC}=90^0\)

nên BEDC là tứ giác nội tiếp

=>\(\hat{BED}+\hat{BCD}=180^0\)

mà \(\hat{BED}+\hat{FEB}=180^0\) (hai góc kề bù)

nên \(\hat{FEB}=\hat{FCD}\)

Xét ΔFEB và ΔFCD có

\(\hat{FEB}=\hat{FCD}\)

góc EFB chung

Do đó: ΔFEB~ΔFCD

=>\(\frac{FE}{FC}=\frac{FB}{FD}\)

=>\(FE\cdot FD=FB\cdot FC\) (2)

Từ (1),(2) suy ra \(FK\cdot FA=FE\cdot FD\)

Đề không rõ câu hỏi. Bạn xem lại.