Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Gọi \(M\) là trung điểm \(BC\).
Ta có:\(OM=\dfrac{1}{2}.AB=2a;AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=5a;OC=\dfrac{1}{2}AC=\dfrac{5}{2}a\)
\(SO=\sqrt{SC^2-OC^2}=\dfrac{5\sqrt{3}}{2}a\)
\(\left[S,BC,A\right]=\widehat{SMO}\)
\(\tan\widehat{SMO}=\dfrac{SO}{OM}=\dfrac{5\sqrt{3}}{4}\)
Suy ra:\(\widehat{SMO}=65,2^o\)
\(\Rightarrow D\)
Lần lượt kẻ \(AE\perp SB\) (1) và \(AF\perp SD\)
\(\left\{{}\begin{matrix}SA\perp\left(ABCD\right)\Rightarrow SA\perp BC\\AB\perp BC\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow BC\perp\left(SAB\right)\)
\(\Rightarrow BC\perp AE\) (2)
(1);(2) \(\Rightarrow AE\perp\left(SBC\right)\)
Hoàn toàn tương tự ta có \(AF\perp\left(SCD\right)\)
\(\Rightarrow\) Góc giữa (SBC) và (SCD) là góc giữa AE và AF
Cũng từ \(BC\perp\left(SAB\right)\) mà \(BC=\left(SBC\right)\cap\left(ABCD\right)\Rightarrow\widehat{SBA}\) là góc giữa (SBCD) và đáy
\(\Rightarrow\widehat{SBA}=60^0\Rightarrow SA=AB.tan60^0=a\sqrt{3}\)
Hệ thức lượng: \(\dfrac{1}{AE^2}=\dfrac{1}{SA^2}+\dfrac{1}{AB^2}\Rightarrow AE=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}\)
\(\dfrac{1}{AF^2}=\dfrac{1}{SA^2}+\dfrac{1}{AD^2}\Rightarrow AF=\dfrac{a\sqrt{6}}{2}\)
\(SB=\sqrt{SA^2+AB^2}=2a\) ; \(SD=a\sqrt{6}\)
\(BD=\sqrt{AB^2+AD^2}=2a\Rightarrow cos\widehat{BSD}=\dfrac{SB^2+SD^2-BD^2}{2SB.SD}=\dfrac{\sqrt{6}}{4}\)
\(SE=\sqrt{SA^2-AE^2}=\dfrac{3a}{2}\) ; \(SF=\sqrt{SA^2-AF^2}=\dfrac{a\sqrt{6}}{2}\)
\(\Rightarrow EF=\sqrt{SE^2+SF^2-2SE.SF.cos\widehat{BSD}}=\dfrac{a\sqrt{6}}{2}\)
\(\Rightarrow cos\widehat{EAF}=\dfrac{AE^2+AF^2-EF^2}{2AE.AF}=\dfrac{\sqrt{2}}{4}\)
Đáp án D
Gọi O là giao AC và BD, M là trung điểm CD
Vì S.ABCD là hình chóp đều
=> O là hình chiếu của S trên (ABCD)
Ta có: OM ⊥ CD và SM ⊥ CD
Vậy 
Đáp án C
Kẻ AH ⊥BD
Khi đó 
Mà 
nên góc giữa (SBD) và (ABCD) là SHA=α.
Suy ra 
Do đó 
Đặt hệ trục tọa độ: Chọn $A(0,0,0),\ B(a,0,0),\ D(0,2a,0),\ C(a,2a,0)$.
Vì $SA \perp (ABCD)$ nên đặt $S(0,0,h)$.
Xét mặt phẳng $(SBD)$: $\vec{SB} = (a,0,-h),\ \vec{SD} = (0,2a,-h)$.
Vectơ pháp tuyến: $\vec{n} = \vec{SB} \times \vec{SD} = (2ah,\ ah,\ 2a^2)$.
Mặt phẳng $(ABCD)$ có vectơ pháp tuyến: $\vec{k} = (0,0,1)$.
Góc giữa hai mặt phẳng là $\alpha$, ta có:
$\cos\alpha = \dfrac{|\vec{n} \cdot \vec{k}|}{|\vec{n}|}$.
Tính: $\vec{n} \cdot \vec{k} = 2a^2$
$|\vec{n}| = \sqrt{(2ah)^2 + (ah)^2 + (2a^2)^2} = a\sqrt{5h^2 + 4a^2}$
Suy ra: $\cos\alpha = \dfrac{2a^2}{a\sqrt{5h^2 + 4a^2}} = \dfrac{2a}{\sqrt{5h^2 + 4a^2}}$
$\sin\alpha = \dfrac{\sqrt{5h^2}}{\sqrt{5h^2 + 4a^2}} = \dfrac{h\sqrt{5}}{\sqrt{5h^2 + 4a^2}}$
Do đó: $\tan\alpha = \dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \dfrac{h\sqrt{5}}{2a}$
Vì đề không cho $SA$ nên góc không cố định theo $h$.
Trong các đáp án chỉ có dạng hằng số phù hợp với trường hợp chuẩn (lấy $h = 2a$ như bài quen thuộc), khi đó:
$\tan\alpha = \dfrac{2a\sqrt{5}}{2a} = \sqrt{5}$.
Đáp án: C. $\sqrt{5}$
Gọi O là giao điểm của AC và BD
ABCD là hình chữ nhật
=>AC cắt BD tại trung điểm của mỗi đường
=>O là trung điểm chung của AC và BD
ABCD là hình chữ nhật
=>AC=BD
mà \(OA=OC=\frac{AC}{2};OB=OD=\frac{BD}{2}\)
nên OA=OB=OC=OD
mà SA=SB=SC=SD
nên SO⊥(ABCD)
Gọi H là trung điểm của BC
ΔSBC cân tại S
mà SH là đường trung tuyến
nên SH⊥BC
Xét ΔCAB có
O,H lần lượt là trung điểm của CA,CB
=>OH là đường trung bình của ΔCAB
=>OH//AB và \(OH=\frac{AB}{2}=\frac{4a}{2}=2a\)
OH//AB
AB⊥BC
Do đó: OH⊥BC
(SBC) giao (ABCD)=BC
SH⊂(SBC); SH⊥BC
OH⊂(ABCD); OH⊥BC
Do đó: \(\hat{\left(SBC\right);\left(ABCD\right)}=\hat{SH;HO}=\hat{SHO}\)
H là trung điểm của BC
=>\(HB=HC=\frac{BC}{2}=\frac{3a}{2}=1,5a\)
ΔSHB vuông tại H
=>\(SH^2+HB^2=SB^2\)
=>\(SH^2=\left(5a\right)^2-\left(1,5a\right)^2=25a^2-2,25a^2=22,75a^2\)
=>\(SH^2=a^2\cdot\frac{91}{4}\)
=>\(SH=\frac{a\sqrt{91}}{2}\)
Xét ΔSHO vuông tại O có cos SHO=\(\frac{OH}{HS}=\frac{2a}{\frac{a\sqrt{91}}{2}}=2:\frac{\sqrt{91}}{2}=\frac{4}{\sqrt{91}}\)
=>\(\hat{SHO}\) ≃65 độ
=>\(\hat{\left(SBC\right);\left(ABCD\right)}\) ≃65 độ