Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Thiếu chứng minh điều kiện bằng j bạn ơi
a) Từ đề bài có: \(x\left(x-1\right)\le0\Rightarrow x^2\le x\)
Tương tự hai BĐT còn lại và cộng theo vế suy ra:
\(M=x+y+z-3\ge x^2+y^2+z^2-3=-2\)
Đẳng thức xảy ra khi (x;y;z) = (0;0;1) và các hoán vị của nó
Is it true?
\(4\le\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{xy}+1\le\sqrt{2\left(x+y\right)}+\frac{x+y}{2}+1\)
\(\Leftrightarrow\)\(8\le x+y+2\sqrt{x+y}\sqrt{2}+2=\left(\sqrt{x+y}+\sqrt{2}\right)^2\)
\(\Leftrightarrow\)\(\sqrt{x+y}+\sqrt{2}\ge\sqrt{8}\)
\(\Leftrightarrow\)\(x+y\ge\left(\sqrt{8}-\sqrt{2}\right)^2=2\)
\(\Rightarrow\)\(P=\frac{x^2}{y}+\frac{y^2}{x}\ge\frac{\left(x+y\right)^2}{x+y}=x+y\ge2\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=1\)
ta có \(7x^2-13xy-2y^2=0\)
\(7x^2-14xy+xy-2y^2=0\)
7x(x-2y)+y(x-2y)=0
(7x+y)(x-2y)=0
=>. 7x+y=0 hoặc x-2y=0
=> y=-7x hoặc x=2y
Thay lần lượt vào A là OK nha bn !
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy
\(1+x^3+y^3\ge3\sqrt[3]{x^3y^3}=3xy\)
\(\Rightarrow\frac{\sqrt{1+x^3+y^3}}{xy}\ge\frac{\sqrt{3xy}}{xy}=\sqrt{\frac{3}{xy}}\)
Hoàn toàn tương tự :
\(\frac{\sqrt{1+y^3+z^3}}{yz}\ge\sqrt{\frac{3}{yz}};\frac{\sqrt{1+z^3+x^3}}{xz}\ge\sqrt{\frac{3}{xz}}\)
Cộng theo vế các bất đẳng thức và thu lại ta được :
\(VT\ge\sqrt{\frac{3}{xy}}+\sqrt{\frac{3}{yz}}+\sqrt{\frac{3}{xz}}\ge3\sqrt[6]{\frac{27}{x^2y^2z^2}}=3\sqrt[6]{27}=3\sqrt{3}\)
( Cauchy )
Ta có đpcm
Dấu " = " xảy ra khi \(x=y=z=1\)
Chúc bạn học tốt !!!
Cách khác nè bạn
Xét bđt phụ \(a^3+b^3\ge ab\left(a+b\right)\left(a,b>0\right)\)
Thật vậy\(\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2\right)-ab\left(a+b\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(a-b\right)^2\ge0\)(luôn đúng với a,b>0)
Áp dụng ta có \(x^3+y^3+1\ge xy\left(x+y\right)+xyz=xy\left(x+y+z\right)\)
\(\Leftrightarrow\frac{\sqrt{1+x^3+y^3}}{xy}\ge\frac{\sqrt{xy}\sqrt{x+y+z}}{xy}=\sqrt{\frac{x+y+z}{xy}}\)
T tự ta có:\(VT\ge\sqrt{x+y+z}\left(\frac{1}{\sqrt{xy}}+\frac{1}{\sqrt{xz}}+\frac{1}{xy}\right)=\sqrt{x+y+z}\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}\right)\ge\sqrt{3\sqrt[3]{xyz}}.3\sqrt[3]{\sqrt{xyz}}=3\sqrt{3}\left(xyz=1\left(gt\right)\right)\)
\(\left(x^4-2x^2+1\right)+\left(y^4-2y^2+1\right)+\left(z^4-2z^2+1\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\)\(\left(x^2-1\right)^2+\left(y^2-1\right)^2+\left(z^2-1\right)^2=0\)
\(\Leftrightarrow\)\(\hept{\begin{cases}\left(x-1\right)\left(x+1\right)=0\\\left(y-1\right)\left(y+1\right)=0\\\left(z-1\right)\left(z+1\right)=0\end{cases}}\)\(\Rightarrow\)\(x,y,z\in\left\{1;-1\right\}\)
Mà \(\hept{\begin{cases}x^{2022}\ge0\forall x\\y^{2020}\ge0\forall y\\z^{2018}\ge0\forall z\end{cases}}\) nên P nhận giá trị không đổi khi \(x,y,z\in\left\{1;-1\right\}\)
\(\Rightarrow\)\(P=1+1+1=3\)
chia 2 vế của 1 BĐT luôn đúng cho cùng 1 đa thức thì chả luôn được 1 BĐT luôn đúng :)) chứng minh ngu l;z đ*o hiểu m` gõ ra có tác dụng gì còn con lợn Hoàng Phú Huy nhai lại cũng đ*o bt cái j
Vì a,b dương
\(\left(a+b\right)^2\ge4ab\)
\(\Leftrightarrow\frac{\left(a+b\right)^2}{\left(a+b\right)ab}>\frac{4ab}{\left(a+b\right)ab}\)
\(\Rightarrow\frac{a+b}{ab}>\frac{4}{a+b}\)
Tới đây, bn sử dụng BĐT đó và giải ra.
thằng Lê Anh tú ko biết gì đừng giải bừa xấu mặt CTV
Áp dụng BĐT \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{4}{x+y}\) (ez to prove) \(\Leftrightarrow\)\(xy\le\frac{\left(x+y\right)^2}{4}\)ta có:
\(VT\ge\frac{4}{x\left(y+z\right)}\ge\frac{4}{\left(\frac{x+y+z}{2}\right)^2}=\frac{4}{\left(\frac{4}{2}\right)^2}=1=VP\)
P.s: ko hiểu thì ib
Vì a,b dương
\(\(\left(a+b\right)^2\ge4ab\) \(\Leftrightarrow\frac{\left(a+b\right)^2}{\left(a+b\right)ab}>\frac{4ab}{\left(a+b\right)ab}\) \(\Rightarrow\frac{a+b}{ab}>\frac{4}{a+b}\) \)
Tới đây, bn sử dụng BĐT đó và giải ra.
Giải ngu, mak bài đặt ak (https://olm.vn/thanhvien/thangbnsh)
Giải tiếp.
Dấu '=' xảy ra khi \(a=b\)
Áp dụng bđt trên ta có:
\(\frac{1}{xy}+\frac{1}{xz}\ge\frac{4}{xy+xz}\Rightarrow\frac{1}{xy}+\frac{1}{xz}\ge\frac{4}{x\left(y+z\right)}\)
Mà x+y+z=4 Nên y+z=4-x >0
\(\Rightarrow\frac{1}{xy}+\frac{1}{xz}\ge\frac{4}{x\left(4-x\right)}\Rightarrow\frac{1}{xy}+\frac{1}{xz}\ge\frac{4}{-x^2+4x-4+4}\Rightarrow\frac{1}{xy}+\frac{1}{xz}\ge\)\(\frac{4}{-\left(x-2\right)^2+4}\left(1\right)\)
Vì y+z=4-x >0. Nên x(4-x)>0
=> \(4\ge-\left(x-2\right)^2+4>0\)
Do đó: \(\frac{4}{-\left(x-2\right)^2+4}\ge1\left(2\right)\)
Từ (1) và (2) \(\Rightarrow\frac{1}{xy}+\frac{1}{xz}\ge1\)
Dấu '=' xảy ra khi \(\hept{\begin{cases}x=2\\xy=xz\\x+y+z=4\end{cases}\Leftrightarrow}\hept{\begin{cases}x=2\\y=z=1\end{cases}}\)(thỏa mãn đk x,y,z>0)
xem hộ tau thg nào giải ngu ? tại sao m` suy ra a=b khi m` ko chứng minh nó mà mày lấy luôn 1 bđt luôn đúng rồi chia 2 vế cho cùng 1 số ? nó đ éo liên quan đến nhau ok ?và cách giải mày quá lôm côm chỉ cho những con gà normie mới học bđt zậy là ai ngu ?? :(
Ta có: \(x+y+z=4\Rightarrow y+z=4-x\)
Dễ c/m \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\).Áp dụng vào,ta có:
\(VT\ge\frac{4}{x\left(y+z\right)}=\frac{4}{x\left(4-x\right)}\) (1)
Mặt khác,theo Cô si,ta có: \(x\left(4-x\right)\le\left(\frac{x+\left(4-x\right)}{2}\right)^2=\left(\frac{4}{2}\right)^2=4\)
Do đó: \(\frac{4}{x\left(4-x\right)}\ge\frac{4}{4}=1=VP\) (2)
Từ (1) và (2) suy ra đpcm.