Ta có :

\(\frac{a}{b+c}=\frac{b}{c+a}=\frac{c}{a+b}\)

Áp dụng tc của dãy tỉ số bằng nhau ta có :

\(\frac{a}{b+c}=\frac{b}{c+a}=\frac{c}{a+b}=\frac{a+b+c}{b+c+a+c+b+a}=\frac{1}{2}\)

\(\Rightarrow\begin{cases}2a=b+c\\2b=c+a\\2c=b+a\end{cases}\)

Thay vào M ta có :

\(A=\frac{2a}{a}+\frac{2b}{b}+\frac{2c}{c}=2+2+2=6\)

=> M = 6 \(\forall a;b;c\)

Vậy giá trị của M không phụ thuộc vào giá trị của các biến a ; b ; c

chứng minh mà

Vì \(\frac{a}{b+c}=\frac{b}{a+c}=\frac{c}{a+b}\)

Suy ra \(\frac{b+c}{a}=\frac{a+c}{b}=\frac{a+b}{c}=\frac{\left(b+c\right)+\left(a+c\right)+\left(a+b\right)}{a+b+c}=2\)

\(\Rightarrow b+c=2a;a+c=2b;a+b=2c\)

Bằng cách rút \(b\) từ đẳng thức thứ nhất thay vào đẳng thức thứ hai ta đễ dàng suy ra được \(a=b=c\)

\(\Rightarrow\frac{b+c}{a}+\frac{a+c}{b}+\frac{a+b}{c}=2+2+2=6\)

Lười quá, bn tham khảo nhé:

Bấm vô đây

Câu hỏi của Nguyen Thi Hoai Linh - Toán lớp 7 - Học toán với OnlineMath

Vì \(\frac{a}{b+c}=\frac{b}{a+c}=\frac{c}{a+b}\)

Suy ra \(\frac{b+c}{a}=\frac{a+c}{b}=\frac{a+b}{c}=\frac{\left(b+c\right)+\left(a+c\right)+\left(a+b\right)}{a+b+c}=2\)

\(\Rightarrow b+c=2a;a+c=2b;a+b=2c\)

Bằng cách rút \(b\) từ đẳng thức thứ nhất thay vào đẳng thức thứ hai ta đễ dàng suy ra được \(a=b=c\)

\(\Rightarrow\frac{b+c}{a}+\frac{a+c}{b}+\frac{a+b}{c}=2+2+2=6\)

Ta có : \(\frac{a}{b+c}=\frac{b}{a+c}=\frac{c}{a+b}=\frac{a+b+c}{2\left(a+b+c\right)}\)

Xét 2 trường hợp :

TH₁ : Nếu a + b + c = 0 thì \(\hept{\begin{cases}b+c=-a\\a+b=-c\\a+c=-b\end{cases}}\).Ta có :\(\frac{b+c}{a}+\frac{a+c}{b}+\frac{a+b}{c}=-1+-1+-1=-3\). Không phụ thuộc vào giá trị của a ; b ; c

TH₂ : Nếu \(a+b+c\ne0\)thì \(\frac{a}{b+c}=\frac{b}{a+c}=\frac{c}{a+b}=\frac{1}{2}\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}2a=b+c\\2b=a+c\\2c=a+b\end{cases}}\)

Có : \(\frac{b+c}{a}+\frac{a+c}{b}+\frac{a+b}{c}=\frac{2a}{a}+\frac{2b}{b}+\frac{2c}{c}=2+2+2=6\)                                                              -Không phụ thuộc vào các giá trị a ; b ; c (2)

Từ (1) và (2)

=> ĐPCM

@Phạm Tuấn Đạt cho 3 số đôi 1 khác 0 =>a+b+c khác 0 => ko cần phải xét

Ta có 

a/(b+c)=b/(a+c)=c/(a+b)

=>(b+c)/a=(a+c)/b=(a+b)/c=(b+c+a+c+a+b)/(a+b+c)=2(a+b+c)/(a+b+c)=2

=>(b+c)/(a+(a+b)/c+(a+b)/c=2+2+2=6

=>(b+c)/a+(a+b)/c+(a+b)/c không phụ thuộc vào giá trị của a,b,c (đpcm)

Vậy............

Nhớ thanks nha

\(\frac{a}{b+c}=\frac{b}{a+c}=\frac{c}{a+b}=\frac{a+b+c}{2\left(a+b+c\right)}=\frac{1}{2}\)

\(\Rightarrow\)\(\hept{\begin{cases}b+c=2a\\a+c=2b\\a+b=2c\end{cases}}\)

\(\Rightarrow\)\(\frac{b+c}{a}+\frac{a+c}{b}+\frac{a+b}{c}=\frac{2a}{a}+\frac{2b}{b}+\frac{2c}{c}=2+2+2=6\)

... 

Chúc bạn học tốt ~ 

Cách easy nhất:

Đặt \(\frac{a}{b+c}=\frac{b}{a+c}=\frac{c}{a+b}=k\Rightarrow a=k\left(b+c\right);b=k\left(a+c\right);c=k\left(a+b\right)\)

Thay vào,ta có:\(\frac{b+c}{a}=\frac{b+c}{k\left(b+c\right)}=\frac{1}{k}\) (1)

Tương tự với hai đẳng thức còn lại,được: \(\frac{a+c}{b}=\frac{1}{k}\) (2)

               và            \(\frac{a+b}{c}=\frac{1}{k}\) (3)

Từ (1),(2) và (3) ta có: \(\frac{b+c}{a}=\frac{a+c}{b}=\frac{a+b}{c}\left(=\frac{1}{k}\right)^{\left(đpcm\right)}\)

\(\frac{a}{b+c}=\frac{b}{a+c}=\frac{c}{a+b}=\frac{a+b+c}{2\left(a+b+c\right)}\) 

+) a+b+c=0 => \(\hept{\begin{cases}a=-\left(b+c\right)\\b=-\left(a+c\right)\\c=-\left(a+b\right)\end{cases}}\Rightarrow P=-3\) 

+) a+b+c khác 0 => \(\hept{\begin{cases}a=\frac{1}{2}\left(b+c\right)\\b=\frac{1}{2}\left(a+c\right)\\c=\frac{1}{2}\left(b+a\right)\end{cases}}\) 

\(\Rightarrow P=\frac{3}{2}\) 

Vậy: P = 3/2 hoac P=-3

Ta có: \(\frac{a}{b+c}=\frac{b}{a+c}=\frac{c}{a+b}\)

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:

\(\frac{a}{b+c}=\frac{b}{a+c}=\frac{c}{a+b}=\frac{a+b+c}{b+c+a+c+a+b}=\frac{a+b+c}{2\left(a+b+c\right)}=\frac{1}{2}\)

Suy ra:

 \(\frac{a}{b+c}=\frac{1}{2}\Rightarrow a=\frac{b+c}{2}=\frac{1}{2}\times\left(b+c\right)\)

\(\frac{b}{a+c}=\frac{1}{2}\Rightarrow b=\frac{a+c}{2}=\frac{1}{2}\times\left(a+c\right)\)

\(\frac{c}{a+b}=\frac{1}{2}\Rightarrow c=\frac{a+b}{2}=\frac{1}{2}\times\left(a+b\right)\)

Thay  \(a=\frac{1}{2}\times\left(b+c\right)\);  \(b=\frac{1}{2}\times\left(a+c\right)\); \(c=\frac{1}{2}\times\left(a+b\right)\) vào P ta được:

\(\frac{b+c}{\frac{1}{2}\times\left(b+c\right)}+\frac{c+a}{\frac{1}{2}\times\left(a+c\right)}+\frac{a+b}{\frac{1}{2}\times\left(a+b\right)}\)

\(=\frac{\text{ }1\text{ }}{\frac{1}{2}}+\frac{1}{\frac{1}{2}}+\frac{1}{\frac{1}{2}}\)

\(=2+2+2=6\)

Vậy giá trị của P  là 6