Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Ta có : \(\frac{1}{x}\)+ \(\frac{1}{y}\)\(\ge\)\(\frac{4}{xy}\)( với x,y dương)
Thật vậy: \(\frac{1}{x}\)+\(\frac{1}{y}\)\(\ge\frac{4}{x+y}\)
\(\Leftrightarrow\frac{y+x}{xy}\ge\frac{4}{x+y}\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2\ge4xy\)
\(\Leftrightarrow x^2+2xy+y^2\ge4xy\)
\(\Leftrightarrow x^2-2xy+y^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2\ge0\) luôn đúng \(\forall\)x,y
Áp dụng bất đẳng thức trên ta được:
\(\frac{1}{a+b-c}+\frac{1}{b+c-a}\ge\frac{4}{a+b-c+b+c-a}=\frac{4}{2b}=\frac{2}{b}\)(Vì a,b,c là 3 cạnh \(\Delta\)nên a+b-c > 0 và b+c-a > 0 bđt \(\Delta\))
Tương tự có: \(\frac{1}{a+b-c}+\frac{1}{b+c-a}\ge\frac{2}{a}\)
\(\frac{1}{b+c-a}+\frac{1}{c+a-b}\ge\frac{2}{c}\)
Cộng từng vế 3 bđt trên ta được:
2(\(\frac{1}{a+b-c}+\frac{1}{b+c-a}+\frac{1}{c+a-b}\)\(\ge2\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)
\(\Rightarrow\frac{1}{a+b-c}+\frac{1}{b+c-a}+\frac{1}{c+a-b}\ge\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\)(ĐFCM)
CHÚC BẠN HỌC TỐT!
Cái phần cuối mình up lên nhưng không được chắc là do giới hạn chữ
Phần cuối bạn làm như thế này nhé:
C/m tương tự:\(\frac{1}{a+b-c}+\frac{1}{c+a-b}\ge\frac{2}{a}\)
\(\frac{1}{b+c-a}+\frac{1}{c+a-b}\ge\frac{2}{c}\)
Cộng từng vế của 3 bđt trên ta được \(2\left(\frac{1}{a+b-c}+\frac{1}{b+c-a}+\frac{1}{c+a-b}\right)\ge2\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)
\(\Rightarrow\frac{1}{a+b-c}+\frac{1}{b+c-a}+\frac{1}{c+a-b}\ge\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\)(ĐFCM)
CHÚC BẠN HỌC TỐT!
\(\frac{a}{b+c}>\frac{a}{a+b+c},\frac{b}{a+c}>\frac{b}{a+b+c},\frac{c}{a+b}>\frac{c}{a+b+c}\)
tổng lại sẽ>1
Xin lỗi nhé, nãy đang vội thấy 3 p/s nghĩ luôn ra mà ko kịp soát
Áp dụng BĐT \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\) ta có:
\(\frac{1}{a+b-c}+\frac{1}{b+c-a}\ge\frac{4}{a+b-c+b+c-a}=\frac{4}{2b}=\frac{2}{b}\)
\(\frac{1}{b+c-a}+\frac{1}{a+c-b}\ge\frac{4}{b+c-a+a+c-b}=\frac{4}{2c}=\frac{2}{c}\)
\(\frac{1}{a+b-c}+\frac{1}{a+c-b}\ge\frac{4}{a+b-c+a+c-b}=\frac{4}{2a}=\frac{2}{a}\)
Cộng theo vế 3 BĐT ta có:
\(2VT\ge\frac{2}{a}+\frac{2}{b}+\frac{2}{c}=2\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)=2VP\Rightarrow VT\ge VP\)
Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=c\)
Áp dụng BĐT \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{9}{a+b+c}\) ta có:
\(\frac{1}{a+b-c}+\frac{1}{b+c-a}+\frac{1}{a+c-b}\)
\(\ge\frac{9}{a+b-c+b+c-a+a+c-b}=\frac{9}{a+b+c}\left(1\right)\)
Lại có: \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{9}{a+b+c}\left(2\right)\)
Từ (1) và (2) ta có ĐPCM
Bạn ơi cho mình hỏi này, từ (1), (2), suy ra được \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{9}{a+b+c}\) và \(\frac{1}{a+b-c}+\frac{1}{b+c-a}+\frac{1}{c+a-b}\ge\frac{9}{a+b+c}\) chứ chưa chứng minh được \(\frac{1}{a+b-c}+\frac{1}{b+c-a}+\frac{1}{c+a-b}\ge\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\)
Coi lại hộ mình nhé
Ta chứng minh bất đẳng thức sau:
1/x+1/y>=4/x+y với x,y >0
<=>y/xy+x/xy>=4/x+y với x,y >0
<=>x+y/xy>=4/x+y với x,y >0
<=>(x+y)2>=4xy với x,y >0
<=>x2+2xy+y2-4xy>=0 với x,y >0(sử dụng hằng đẳng thức bình phương của 1 tổng đồng thời chuyển vế)
<=>x2-2xy+y2>=0
<=> (x-y)2>=0 (luôn đúng với x,y >0)
Dấu "=" xảy ra <=> x-y=0<=> x=y
Áp dụng bất đẳng thức tam giác vào tam giác đã cho, ta có:
a+b>c => a+b-c>0
b+c>a => b+c-a>0
c+a>b => c+a-b>0
Áp dụng bất đẳng thức trên, ta có:
1/a+b-c+1/b+c-a>= 4/a+b-c+b+c-a=4/2b=2/b (1)
Với a+b-c>0;b+c-a>0
Dấu "=" xảy ra <=> a+b-c=b+c-a<=> a+a=c+c
<=> 2a=2c
<=> a=c
1/b+c-a+1/c+a-b>=4/b+c-a+c+a-b=4/2c=2/c (2)
Với b+c-a>0; c+a-b>0
Dấu "=" xảy ra <=> b+c-a=c+a-b<=> b+b=a+a
<=> 2b=2a
<=> b=a
1/c+a-b+1/a+b-c>=4/c+a-b+a+b-c=4/2a=2/a (3)
Với c+b-a>0; a+b-c>0
Dấu "=" xảy ra <=> c+a-b=a+b-c<=> c+c=b+b
<=> 2c=2b
<=> c=b
Từ (1);(2) và (3) =>2(1/a+b-c+1/b+c-a+1/c+a-b) >= 2/a+2/b+2/c
=> 1/a+b-c+1/b+c-a+1/c+a-b>= 1/a+1/b+1/c
Dấu "=" xảy ra <=> a+b+c
Vậy 1/a+b-c+1/b+c-a+1/c+a-b>= 1/a+1/b+1/c với a, b, c là độ dài 3 cạnh của 1 tam giác. Dấu “=” xảy ra <=> a=b=c (đpcm)
Ngu oc cho heo 👎👎👎
bạn ơi hai cái cùng \(\ge\)sao có thể kết luận một cái lớn hơn cái kia chứ