Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
C/m BĐT phụ: \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{4}{x+y}\) (*) (x,y dương)
Ta có: \(\left(x-y\right)^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow\)\(x^2-2xy+y^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow\)\(x^2+y^2\ge2xy\)
\(\Leftrightarrow\)\(x^2+2xy+y^2\ge4xy\)
\(\Leftrightarrow\)\(\left(x+y\right)^2\ge4xy\)
\(\Leftrightarrow\)\(\frac{x+y}{xy}\ge\frac{4}{x+y}\)
\(\Leftrightarrow\)\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{4}{x+y}\) (BĐT đã đc chứng minh)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\)\(x=y\)
ÁP dụng BĐT (*) ta có:
\(\frac{1}{p-a}+\frac{1}{p-b}\ge\frac{4}{p-a+p-b}=\frac{4}{2p-\left(a+b\right)}=\frac{4}{c}\) (1)
\(\frac{1}{p-b}+\frac{1}{p-c}\ge\frac{4}{p-b+p-c}=\frac{4}{2p-\left(b+c\right)}=\frac{4}{a}\) (2)
\(\frac{1}{p-c}+\frac{1}{p-a}\ge\frac{4}{p-c+p-a}=\frac{4}{2p-\left(c+a\right)}=\frac{4}{b}\) (3)
Lấy (1); (2); (3) cộng theo vế ta được:
\(2\left(\frac{1}{p-a}+\frac{1}{p-b}+\frac{1}{p-c}\right)\ge4\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)
\(\Leftrightarrow\)\(\frac{1}{p-a}+\frac{1}{p-b}+\frac{1}{p-c}\ge2\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\)\(a=b=c\)
Khi đó \(\Delta ABC\)là tam giác đều
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si vào biểu thức \(1+\dfrac{a}{b}\), ta có:
\(1+\dfrac{a}{b}\ge2\sqrt{\dfrac{a}{b}}\) (1)
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si vào biểu thức \(1+\dfrac{b}{c}\), ta có:
\(1+\dfrac{b}{c}\ge2\sqrt{\dfrac{b}{c}}\) (2)
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si vào biểu thức \(1+\dfrac{c}{a}\), ta có:
\(1+\dfrac{c}{a}\ge2\sqrt{\dfrac{c}{a}}\) (3)
Từ (1), (2) và (3)
\(\Rightarrow\left(1+\dfrac{a}{b}\right)\left(1+\dfrac{b}{c}\right)\left(1+\dfrac{c}{a}\right)\ge2\sqrt{\dfrac{a}{b}}.2\sqrt{\dfrac{b}{c}}.2\sqrt{\dfrac{c}{a}}\)\(\Rightarrow\left(1+\dfrac{a}{b}\right)\left(1+\dfrac{b}{c}\right)\left(1+\dfrac{c}{a}\right)\ge8\) (vì \(\sqrt{\dfrac{a}{b}}.\sqrt{\dfrac{b}{c}}.\sqrt{\dfrac{c}{a}}=1\))
Dấu "=" xảy ra khi a = b = c. Khi đó tam giác đã cho là tam giác đều
Do p là nửa chu vi tam giác nên \(2p=a+b+c\)
Ta có bổ đề sau: \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{4}{x+y}\Leftrightarrow\frac{x+y}{xy}\ge\frac{4}{x+y}\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2\ge4xy\)
\(\Leftrightarrow x^2+2xy+y^2\ge4xy\Leftrightarrow x^2-2xy+y^2\ge0\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2\ge0\)(luôn đúng)
Áp dụng vào bài toán:
\(\frac{1}{p-a}+\frac{1}{p-b}\ge\frac{4}{p-a+p-b}=\frac{4}{2p-a-b}=\frac{4}{c}\)
Tương tự: \(\frac{1}{p-b}+\frac{1}{p-c}\ge\frac{4}{a},\)\(\frac{1}{p-c}+\frac{1}{p-a}\ge\frac{4}{b}\)
\(\Rightarrow2\left(\frac{1}{p-a}+\frac{1}{p-b}+\frac{1}{p-c}\right)\ge\frac{4}{a}+\frac{4}{b}+\frac{4}{c}=4\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{p-a}+\frac{1}{p-b}+\frac{1}{p-c}\ge2\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)(đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi a=b=c.
Ta có : \(\frac{1}{x}\)+ \(\frac{1}{y}\)\(\ge\)\(\frac{4}{xy}\)( với x,y dương)
Thật vậy: \(\frac{1}{x}\)+\(\frac{1}{y}\)\(\ge\frac{4}{x+y}\)
\(\Leftrightarrow\frac{y+x}{xy}\ge\frac{4}{x+y}\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2\ge4xy\)
\(\Leftrightarrow x^2+2xy+y^2\ge4xy\)
\(\Leftrightarrow x^2-2xy+y^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2\ge0\) luôn đúng \(\forall\)x,y
Áp dụng bất đẳng thức trên ta được:
\(\frac{1}{a+b-c}+\frac{1}{b+c-a}\ge\frac{4}{a+b-c+b+c-a}=\frac{4}{2b}=\frac{2}{b}\)(Vì a,b,c là 3 cạnh \(\Delta\)nên a+b-c > 0 và b+c-a > 0 bđt \(\Delta\))
Tương tự có: \(\frac{1}{a+b-c}+\frac{1}{b+c-a}\ge\frac{2}{a}\)
\(\frac{1}{b+c-a}+\frac{1}{c+a-b}\ge\frac{2}{c}\)
Cộng từng vế 3 bđt trên ta được:
2(\(\frac{1}{a+b-c}+\frac{1}{b+c-a}+\frac{1}{c+a-b}\)\(\ge2\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)
\(\Rightarrow\frac{1}{a+b-c}+\frac{1}{b+c-a}+\frac{1}{c+a-b}\ge\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\)(ĐFCM)
CHÚC BẠN HỌC TỐT!
Cái phần cuối mình up lên nhưng không được chắc là do giới hạn chữ
Phần cuối bạn làm như thế này nhé:
C/m tương tự:\(\frac{1}{a+b-c}+\frac{1}{c+a-b}\ge\frac{2}{a}\)
\(\frac{1}{b+c-a}+\frac{1}{c+a-b}\ge\frac{2}{c}\)
Cộng từng vế của 3 bđt trên ta được \(2\left(\frac{1}{a+b-c}+\frac{1}{b+c-a}+\frac{1}{c+a-b}\right)\ge2\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)
\(\Rightarrow\frac{1}{a+b-c}+\frac{1}{b+c-a}+\frac{1}{c+a-b}\ge\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\)(ĐFCM)
CHÚC BẠN HỌC TỐT!
A E B D C x b c c A
Từ B kẻ đường thẳng song song với đường phân giác AD, cắt CA ở E. Tam giác ABE cân ở A nên AE = AB = c
\(\Rightarrow\)CE = CA + AE = b + c
Do đó AD // BE nên ta có :
\(\frac{AD}{BE}=\frac{CA}{CE}\)hay \(\frac{x}{BE}=\frac{b}{b+c}\), do đó \(x=\frac{b}{b+c}.BE\)
Mà BE < AB + AC < 2c
\(\Rightarrow\) \(x< \frac{2bc}{b+c}\)hay \(\frac{1}{x}>\frac{1}{2}\left(\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)( 1 )
Tương tự ta có : \(\frac{1}{y}>\frac{1}{2}\left(\frac{1}{c}+\frac{1}{a}\right)\)( 2 )
ta cũng có : \(\frac{1}{z}>\frac{1}{2}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\)( 3 )
Cộng từng vế của ( 1 ) ; ( 2 ) ; ( 3 ) ta có :
\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}>\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\)
Vậy \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}>\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\left(ĐPCM\right)\)
Hình mình vẽ hơi xấu tí thông cảm
Xin lỗi nhé, nãy đang vội thấy 3 p/s nghĩ luôn ra mà ko kịp soát
Áp dụng BĐT \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\) ta có:
\(\frac{1}{a+b-c}+\frac{1}{b+c-a}\ge\frac{4}{a+b-c+b+c-a}=\frac{4}{2b}=\frac{2}{b}\)
\(\frac{1}{b+c-a}+\frac{1}{a+c-b}\ge\frac{4}{b+c-a+a+c-b}=\frac{4}{2c}=\frac{2}{c}\)
\(\frac{1}{a+b-c}+\frac{1}{a+c-b}\ge\frac{4}{a+b-c+a+c-b}=\frac{4}{2a}=\frac{2}{a}\)
Cộng theo vế 3 BĐT ta có:
\(2VT\ge\frac{2}{a}+\frac{2}{b}+\frac{2}{c}=2\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)=2VP\Rightarrow VT\ge VP\)
Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=c\)
Áp dụng BĐT \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{9}{a+b+c}\) ta có:
\(\frac{1}{a+b-c}+\frac{1}{b+c-a}+\frac{1}{a+c-b}\)
\(\ge\frac{9}{a+b-c+b+c-a+a+c-b}=\frac{9}{a+b+c}\left(1\right)\)
Lại có: \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{9}{a+b+c}\left(2\right)\)
Từ (1) và (2) ta có ĐPCM
Dấu bằng xảy ra khi đẳng thức VT = VP biện luận để tìm ra bài này chắc là tam giác đều
Nguyễn Ngọc Lộc THẾ BẠN CÓ GIẢI ĐƯỢC KHÔNG , mình cần cách giải và cần biết tại sao để tìm duduwowcj dấu bằng ạ
Khi nào thì dấu bằng xảy ra và cách tìm dấu bằng
sao thế bạn có giải được không lại viết hoa vậy bạn ???
Trần Quốc Tuấn hiLời giải:
Ta sử dụng BĐT phụ sau (BĐT Bunhiacopxky):
$(x^2+y^2)(z^2+t^2)\geq (xz+yt)^2$.
Chứng minh BĐT này đơn giản. Bạn biến đổi tương đương thì BĐT còn lại $(xt-yz)^2\geq 0$ (luôn đúng)
---------------------------------
Áp dụng BĐT trên vào bài toán:
Với $x=\sqrt{\frac{1}{a+b-c}}; y=\sqrt{\frac{1}{b+c-a}}; z=\sqrt{a+b-c}; t=\sqrt{b+c-a}$, ta có:
$\left(\frac{1}{a+b-c}+\frac{1}{b+c-a}\right)[(a+b-c)+(b+c-a)]\geq (1+1)^2$
$\Rightarrow \frac{1}{a+b-c}+\frac{1}{b+c-a}\geq \frac{4}{2b}=\frac{2}{b}(1)$.
Tương tự:
$\frac{1}{a+b-c}+\frac{1}{c+a-b}\geq \frac{2}{a}(2)$
$\frac{1}{b+c-a}+\frac{1}{c+a-b}\geq \frac{2}{c}(3)$
Lấy $(1)+(2)+(3)$ theo vế và thu gọn ta có đpcm.
Trong bài BĐT, người ta thường yêu cầu CM $A\geq B, A\leq B$.
Đi tìm "Dấu = xảy ra" nghĩa là đi xác định giá trị của $a,b,c$ để $A=B$ thôi, chứ không phải $A>B$ hay $A<B$
Ví dụ trong bài này, dấu "=" xảy ra khi $a=b=c$.
-----------------------------------------------
Ví dụ đơn giản hơn là cho $a,b$ dương thỏa mãn $a+b=2$. CMR $a^2+b^2\geq 2$.
Đi tìm dấu "=" xảy ra là ta đi tìm giá trị của $a,b$ mà $a^2+b^2=2$.
Đương nhiên, $a,b$ vẫn phải thỏa mãn điều kiện đề (>0; tổng bằng 2)
Từ những điều kiện trên ta suy ra $a=b=1$ chính là điểm mà dấu "=" xảy ra.
Chị Akai Haruma ơi thế trong bài này tìm dấu bằng xảy ra làm sao ra được a=b=c ạ chị !
Trần Quốc Tuấn hi:
Trong bài giải ở trên, em đã áp dụng BĐT $(x^2+y^2)(z^2+t^2)\geq (xz+yt)^2$
BĐT này tương đương với $(xt-yz)^2\geq 0$.
Vì vậy, dấu "=" của BĐT xảy ra, tức là $(x^2+y^2)(z^2+t^2)=(xz+yt)^2$ khi mà $(xt-yz)^2=0$
Hay $xt=yz$
Ứng vào bài toán đã cho. Dấu "=" xảy ra khi:
\(\left\{\begin{matrix} \sqrt{\frac{b+c-a}{a+b-c}}=\sqrt{\frac{a+b-c}{b+c-a}}\\ \sqrt{\frac{a+b-c}{c+a-b}}=\sqrt{\frac{c+a-b}{a+b-c}}\\ \sqrt{\frac{c+a-b}{b+c-a}}=\sqrt{\frac{b+c-a}{c+a-b}}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow b+c-a=c+a-b=a+b-c\)
$\Leftrightarrow a=b=c$
NOTE: Thông thường, trong những bài toán có điều kiện $a,b,c$ dương, $a,b,c$ có vai trò như nhau thì dấu "=" xảy ra khi $a=b=c$
Akai Haruma Chị ơi !!
Chỗ \(b+c-a=c+a-b=a+b-c\Leftrightarrow a=b=c\)
Chị chuyển vế ạ ! Nếu chuyển vế nhưng em làm nó không ra a=b=c ạ !
Trần Quốc Tuấn hi:
Đây em:
$a+b-c=b+c-a=c+a-b$
$\Leftrightarrow (a+b+c)-2c=(a+b+c)-2a=(a+b+c)-2b$
$\Leftrightarrow 2c=2a=2b$
$\Leftrightarrow a=b=c$
Akai Haruma . Vâng ạ chị !