a\(^2\) - 2ab + b\(^2\)

= a\(^2\) - ab - ab + b\(^2\)

= (a\(^2\) - ab) - (ab - b\(^2\))

= a(a -b) - b(a - b)

= (a -b)(a -b)

= (a - b)\(^2\) ≥ 0 ∀ a; b

Suy ra: a\(^2\) - 2ab + b\(^2\) ≥ 0

a\(^2+b^2\) ≥ 2ab

CMTT ta có: b\(^2\) + c\(^2\) ≥ 2bc

\(a^2+c^2\) ≥ 2ac

Cộng vế với vế ta có: 2a\(^2\) + 2b\(^2\) + 2c\(^2\) ≥ 2ab + 2bc + 2ac

Suy ra: a\(^2+b^2+c^2\) ≥ ab + bc + ac (1)

Áp dụng bất đẳng thức trong tam giác ta có:

a\(^2\) < a(b + c) = ab + ac

b\(^2\) < b(a + c) = ab + bc

c\(^2\) < c(a + b) = ac + bc

Cộng vế với vế ta có:

a\(^2+b^2+c^2\) < 2(ab + bc + ac) (2)

kết hợp (1) và (2) ta có:

ab + bc + ac ≤ a\(^2+b^2+c^2\) < 2(ab + bc + ac) (đpcm)

: Nhầm đề bài rồi a^2 + b^2 + c^ 2 > 2(ab+bc+ac)

\(ab+bc=b\left(a+c\right)>b.b=b^2\)

\(bc+ca=c\left(a+b\right)>c.c=c^2\)

\(ca+ab=a\left(b+c\right)>a.a=a^2\)

\(2\left(ab+bc+ca\right)>a^2+b^2+c^2\)

Ta có (a+b)² >=0 => a² + 2ab + b² >= 0 => a² + b² >= 2ab. (1)

         (b+c)² >=0 => b² + 2bc + c² >= 0 => b² + c² >= 2bc. (2)

         (c+a)² >=0 => c² + 2ca + a² >= 0 => c² + a² >= 2ca. (3)

Cộng (1), (2), (3), theo vế ta có 2(a² + b² + c²)>=2(ab+bc+ca)

suy ra a² + b² + c²>=ab+bc+ca (*)

Áp dụng bất đẳng thức trong tam giác ta có:

a+b>c => ac+bc>c². (4)

b+c>a => ab+ac>a². (5)

c+a>b => bc+ab>b². (6)

Cộng (4), (5), (6) theo vế ta có 2(ab+bc+ca)>a²+b²+c²(**)

Từ (*) và (**) suy ra đpcm.

xfffff