Câu hỏi của oOo Min min oOo

Question

Cho a,b,c > 0 và a+b+c=1. Cmr: $\frac{1}{a+b}$+$\frac{1}{b+c}$+ $\frac{1}{a+c}$>...

kudo shinichi · Accepted Answer

Ta có: $a,b,c>0$

Áp dụng BĐT Cauchy-schwarz ta có:

$\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{a+c}\ge\frac{\left(1+1+1\right)^2}{a+b+c+a+b+c}=\frac{3^2}{2\left(a+b+c\right)}=\frac{9}{2.1}=\frac{9}{2}$

đpcm

Tham khảo nhé~

Câu trả lời:

Ta có: $a,b,c>0$

Áp dụng BĐT Cauchy-schwarz ta có:

$\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{a+c}\ge\frac{\left(1+1+1\right)^2}{a+b+c+a+b+c}=\frac{3^2}{2\left(a+b+c\right)}=\frac{9}{2.1}=\frac{9}{2}$

đpcm

Tham khảo nhé~

oOo Min min oOo · Answer

kudo shinichi nêú dùng kỹ thuật ghép cặp nghịch đảo cho 3 số thì sao bn

Câu trả lời:

kudo shinichi nêú dùng kỹ thuật ghép cặp nghịch đảo cho 3 số thì sao bn

tth_new · Answer

Em thử ạ!

Áp dụng BĐT AM-GM,ta có: $\frac{1}{a+b}+\frac{9\left(a+b\right)}{4}\ge2\sqrt{\frac{1}{a+b}.\frac{9\left(a+b\right)}{4}}=2.\frac{3}{2}=3$

Suy ra $\frac{1}{a+b}\ge3-\frac{9\left(a+b\right)}{4}$

Tương tự với hai BĐT còn lại và cộng theo vế ta được $VT\ge9-\frac{9\left(a+b+c\right)}{2}=9-\frac{9}{2}=\frac{9}{2}\left(Q.E.D\right)$

Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=\frac{1}{3}$

Câu trả lời:

Em thử ạ!

Áp dụng BĐT AM-GM,ta có: $\frac{1}{a+b}+\frac{9\left(a+b\right)}{4}\ge2\sqrt{\frac{1}{a+b}.\frac{9\left(a+b\right)}{4}}=2.\frac{3}{2}=3$

Suy ra $\frac{1}{a+b}\ge3-\frac{9\left(a+b\right)}{4}$

Tương tự với hai BĐT còn lại và cộng theo vế ta được $VT\ge9-\frac{9\left(a+b+c\right)}{2}=9-\frac{9}{2}=\frac{9}{2}\left(Q.E.D\right)$

Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=\frac{1}{3}$