\(M=\left(1+\frac{1}{a}\right)^2+\left(1+\frac{1}{b}\right)^2\)

Thay \(a+b=1\) vào biểu thức:

\(\Rightarrow M=\left(1+\frac{a+b}{a}\right)^2+\left(1+\frac{a+b}{b}\right)^2\)

\(M=\left(2+\frac{b}{a}\right)^2+\left(2+\frac{a}{b}\right)^2\)

Áp dụng BĐT Cô - si:

\(\Rightarrow\left\{\begin{matrix}\left(2+\frac{b}{a}\right)^2\ge\frac{8b}{a}\\\left(2+\frac{a}{b}\right)^2\ge\frac{8a}{b}\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow M=\left(2+\frac{b}{a}\right)^2+\left(2+\frac{a}{b}\right)^2\ge\frac{8b}{a}+\frac{8a}{b}=8\left(\frac{b}{a}+\frac{a}{b}\right)\)

Áp dụng BĐT Cô - si:

\(\Rightarrow\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge2\sqrt{\frac{ab}{ab}}=2\)

\(\Rightarrow8\left(\frac{b}{a}+\frac{a}{b}\right)\ge16\)

Mà \(M=\left(2+\frac{b}{a}\right)^2+\left(2+\frac{a}{b}\right)^2\ge8\left(\frac{b}{a}+\frac{a}{b}\right)\)

\(\Rightarrow M=\left(2+\frac{b}{a}\right)^2+\left(2+\frac{a}{b}\right)^2\ge16\)

\(\Leftrightarrow M=\left(1+\frac{1}{a}\right)^2+\left(1+\frac{1}{b}\right)^2\ge16\)

Vậy GTNN của \(M=16\)

Ở lần áp dụng Cô si đầu tiên, dấu "=" xảy ra khi 2 = a/b = b/a (*)

Đến đây chắc hẳn bn đã thấy vô lí vì khi a/b = b/a <=> a² = b² <=> a = -b hoặc a = b

Mà theo đề bài a;b > 0 nên a = b => a/b = b/a = 1, mâu thuãn với (*)

vậy là bài của tui sai phải ko bạn ?

BĐt phụ: \(a^2+b^2\ge\frac{\left(a+b\right)^2}{2}\)và \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\)(cauchy)

cm: áp dụng BĐT bunhiacopxki:\(\left(1+1\right)\left(a^2+b^2\right)\ge\left(a+b\right)^2\Leftrightarrow a^2+b^2\ge\frac{\left(a+b\right)^2}{2}\)(dấu = xảy ra khi a=b)

áp dụng vào bài toán ta có:

\(M=\left(1+\frac{1}{a}\right)^2+\left(1+\frac{1}{b}\right)^2\ge\frac{1}{2}\left(2+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)^2\ge\frac{1}{2}\left(2+\frac{4}{a+b}\right)^2\)

\(M\ge\frac{1}{2}\left(2+4\right)^2=18\)

dấu =xảy ra khi a=b=0,5

vậy M min =18 khi a=b=1/2

minh chua hoc bdt cosi,acopxci

vậy thì bây h học

BĐT cô si (AM-GM):dạng tổng quát:\(a+b\ge2\sqrt{ab}\)

cm bằng cách chuyển vế

BĐT bunhiacopxki: \(\left(a^2+b^2\right)\left(c^2+d^2\right)\ge\left(ac+bd\right)^2\)

cm bằng cách chuyển vế

cm a²+b²>= \(\dfrac{\left(a+b\right)^2}{2}\)có thể cm =cô si

(a-b)^{2>=0 =>} a²+b²>=2ab

=>a²+a²+b²b²>=2ab+a²+b²

=>2(a²+b²)>= (a+b)²

=>a²+b²>=^{\(\dfrac{\left(a+b\right)^2}{2}\)}